Teoria aditiva dos números

Em teoria dos números, a teoria aditiva dos números estuda o comportamento de subconjuntos dos naturais sob a operação de soma, como por exemplo o problema de calcular a quantidade de maneiras de expressar um inteiro positivo como a soma de elementos de um certo conjunto de inteiros não-negativos. De maneira mais abstrata, a teoria aditiva dos números inclui o estudo de grupos abelianos e semigrupos comutativos com a operação de adição. A teoria aditiva dos números tem muitas ligações com teoria combinatória dos números e geometria dos números. Dois objetos principais de estudo são:

• O sumset de dois subconjuntos $A$ e $B$ de um grupo abeliano $G$;

$A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}$;

• O k-ésimo sumset de $A$, i.e.

$hA=\underset{h}{\underbrace{A+\cdots +A}}.$

Dois problemas nesta área são a conjectura de Goldbach e o problema de Waring. Muitos destes problemas são estudados usando ferramentas como o Método do círculo de Hardy-Littlewood e Teoria dos crivos, além de abordagens mais elementares envolvendo o método probabilístico. Por exemplo, I. M. Vinogradov provou que todo número ímpar suficientemente grande é a soma de três primos, e assim todo inteiro suficientemente grande é pode ser escrito como soma de quatro primos. D. Hilbert mostrou que dado $k>1$, todo inteiro não-negativo pode ser expresso como soma de até $h=h_k$ $k$-potências. Em geral, um subconjunto $A$ dos naturais é chamado de base assintotica de ordem $h$ se todo inteiro suficientemente grande pode ser escrito como soma de exatamente $h$elementos do conjunto $A$. Uma base assintótica de ordem é chamado de minimal se não é subconjunto próprio de nenhuma outra base assintotica de ordem.

Grande parte da teoria aditiva dos números moderna se preocupa com as propriedades assintóticas de bases de ordem finita. Sabe-se quePredefinição:Carece de fontes bases minimais de ordem $h$ existem para todo $h>1$, mas existem bases assintóticas de ordem $h$ que não contêm sub-bases minimais de mesma ordem.

Ver também

• Teoria multiplicativa dos números
• Sumset

Referências

• Melvyn B. Nathanson, Additive Number Theory: The Classical Bases, Springer-Verlag, 1996.
• Melvyn B. Nathanson, Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets, Springer-Verlag, 1996.