Geometria dos números

Geometria dos números é a parte da Teoria dos números que utiliza a Geometria para o estudo de Números algébricos. Tipicamente, um Anel de inteiros algébricos é visto como uma rede em ${ℝ}^n$, e o estudo dessas redes fornece informações fundamentais sobre números algébricos. Predefinição:Harvs iniciou esta linha de pesquisa aos 26 anos em seu trabalho The Geometry of Numbers.

A geometria dos números tem uma estreita relação com outros campos da matemática, especialmente a Análise funcional e a Aproximação diofantina, o problema de encontrar Números racionais que aproximam uma quantidade irracional.

Resultados de Minkowski

Suponha que $\mathrm{\Gamma }$ seja uma rede no espaço euclidiano $n$-dimensional ${ℝ}^n$ e $K$ seja um corpo convexo centralmente simétrico. Teorema de Minkowski, às vezes chamado de primeiro teorema de Minkowski, afirma que se $\mathrm{vol}(K)>2^n\mathrm{vol}({ℝ}^n/\mathrm{\Gamma })$, então $K$ contém um vetor não nulo em $\mathrm{\Gamma }$.

O mínimo sucessivo ${\lambda }_k$ é definido como o inf dos números $\lambda$ tais que $\lambda K$ contém $k$ vetores linearmente independentes de $\mathrm{\Gamma }$. O teorema de Minkowski sobre Mínimos sucessivos, às vezes chamado de Segundo teorema de Minkowski, é um fortalecimento do primeiro teorema e afirma que

${\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n\mathrm{vol}(K)\le 2^n\mathrm{vol}({ℝ}^n/\mathrm{\Gamma }).$

Pesquisas posteriores na geometria dos números

Entre 1930 e 1960, pesquisas sobre a geometria dos números foram conduzidas por muitos Teórico dos números (incluindo Louis Mordell, Harold Davenport e Carl Ludwig Siegel). Em anos recentes, Lenstra, Brion e Barvinok desenvolveram teorias combinatórias que enumeram os pontos de rede em alguns corpos convexos.

Teorema do subespaço de W. M. Schmidt

Predefinição:See also Na geometria dos números, o Teorema do subespaço foi obtido por Wolfgang M. Schmidt em 1972. Ele estabelece que, se n é um inteiro positivo, e L₁,...,L_n são formas lineares linearmente independentes em n variáveis com coeficientes algébricos e se ε>0 é qualquer número real dado, então os pontos inteiros não nulos x em n coordenadas com

$|L_1(x)\cdots L_n(x)|<|x{|}^{-\epsilon }$

pertencem a um número finito de subespaços próprios de Qⁿ.

Influência na análise funcional

A geometria dos números de Minkowski teve uma profunda influência na análise funcional. Minkowski provou que corpos convexos simétricos induzem normas em espaços vetoriais de dimensão finita. O teorema de Minkowski foi generalizado para espaço vetorial topológico por Kolmogorov, cujo teorema afirma que os conjuntos convexos simétricos que são fechados e limitados geram a topologia de um Espaço de Banach.

Pesquisadores continuam a estudar generalizações para conjuntos estrelados e outros conjuntos não convexos.

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