Fórmula de Machin

A Fórmula de Machin foi formulada por John Machin (1680-1751), que a utilizou para calcular o número pi com 100 casas decimais. Posteriormente, foi usada por William Shanks (1812-1882) para o cálculo de pi com 707 casas decimais.

Fórmula de Machin:

$\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}$

Dedução

Pelos teoremas de adição de funções trigonométricas temos:

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

Manipulação algébrica destas equações fornece:

$\arctan \frac{a_1}{b_1}+\arctan \frac{a_2}{b_2}=\arctan \frac{a_1{b}_2+a_2{b}_1}{b_1{b}_2-a_1{a}_2}.$

Aplicando esta equação temos:

$2\arctan \frac{1}{5}$

$=\arctan \frac{1}{5}+\arctan \frac{1}{5}$

$=\arctan \frac{1*5+1*5}{5*5-1*1}$

$=\arctan \frac{10}{24}$

$=\arctan \frac{5}{12}$

$4\arctan \frac{1}{5}$

$=2\arctan \frac{1}{5}+2\arctan \frac{1}{5}$

$=\arctan \frac{5}{12}+\arctan \frac{5}{12}$

$=\arctan \frac{5*12+5*12}{12*12-5*5}$

$=\arctan \frac{120}{119}$

$4\arctan \frac{1}{5}-\frac{\pi }{4}$

$=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{1}$

$=4\arctan \frac{1}{5}+\arctan \frac{-1}{1}$

$=\arctan \frac{120}{119}+\arctan \frac{-1}{1}$

$=\arctan \frac{120*1+(-1)*119}{119*1-120*(-1)}$

$=\arctan \frac{1}{239}$

$\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}$.

Referências

• GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo, vol. 4. 3ª edição. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora, 1999.