Hipótese da densidade

Predefinição:Mais fontes Em teoria dos números, a hipótese de densidade permite a obtenção de resultados em teoria dos números primos que são comparáveis ​​com aqueles que seguem a partir da hipótese de Riemann. Por exemplo, segue-se a partir da hipótese de que a densidade suficientemente grande para que haja pelo menos um primeiro número em cada parte do intervalo $[x,x+x^{\frac{1}{2}+ϵ}].$

A hipótese de densidade é uma conseqüência da hipótese de Lindelöf, considerada mais forte. Uma diferença entre esta última é que a hipótese de densidade foi parcialmente provada, em termos de vários teoremas de densidade, começando com certos valores de $1/2<{\sigma }_0<\sigma .$

Uma desigualdade proposta fornecendo um limite para o número $N(\sigma ,T)$ de zeros da função zeta de Riemann

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-s},$

onde $s=\sigma +ti$ no retângulo $1/2<\sigma <\beta <1,\mid \gamma \mid \le T.$

A formulação mais exata para a hipótese da densidade é

$N(\sigma ,T)\le c{T}^{2(1-\sigma )}l{n}^{A}T.$

A mais simples, mas menos precisa formulação é

$N(\sigma ,T)\le c{T}^{2(1-\sigma )+ϵ}.$

Para o número $N(\sigma ,T,\chi )$ de zeros das funções-L de Dirichlet

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n,k)}{n^s},$

onde $\chi (n,k)$ é um caráter módulo k, é colocada uma hipótese análoga à hipótese da densidade. Em forma de média fica

$\sum _{\chi modk}^{}N(\sigma ,T,\chi )\le c{T}^{2(1-\sigma )+ϵ}$

$\sum _{k\le Q}^{}\sum _{{\chi }^{\ast }modk}^{}N(\sigma ,T,\chi )\le c{T}^{2(1-\sigma )+ϵ}$

onde ${\chi }^{\ast }$ é um caráter primitivo módulo k.

A hipótese da densidade para as funções-L de Dirichlet são usadas na teoria da distribuição de números primos distribuidos em progressões aritméticas.

Veja também

• Caráter de Dirichlet
• Função L de Dirichlet
• Função zeta de Riemann
• Hipótese generalizada de Riemann
• Métodos de densidade
• Teorema de Bombieri-Vinogradov