Homologia singular

Em matemática, a homologia singular é uma teoria de homologia que associa a cada espaço topológico uma sequência de grupos abelianos $\{H_p^s(X){\}}_{p\in \mathbb{N}}$, e a cada aplicação contínua $f:X\to Y$, entre dois dados espaços topológicos, uma sequência de homomorfismos induzidos $f_{*,p}:H_p^s(X)\to H_p^s(Y)$ $(p\in \mathbb{N})$.

Assim como toda homologia, a homologia singular é um funtor covariante $Hom$ entre a categoria dos espaços topológicos e aplicações contínuas e a categoria dos grupos graduados em $\mathbb{N}$ e os homomorfismos de grupos graduados em $\mathbb{N}$. É conveniente também, dado um espaço topológico $X$ e um subespaço $A\subset X$, definir a homologia singular relativa $H(X,A)$.

Definições associadas

Seja $X$ um espaço topológico, ${\mathrm{\Delta }}_p$ o simplexo padrão p-dimensional, isto é;

${\mathrm{\Delta }}_p=\{(x_1,...,x_p)\in {ℝ}^p|\sum _{i=1}^p{x}_i\le 1\}.$

Note que, $\{e_1,...,e_p\}$, a base canônica do ${ℝ}^p$ também é o conjunto dos pontos extremais do convexo ${\mathrm{\Delta }}_p$.

Sejam também, para $1\le j<p$,

$F_i^p=[e_1,...,\widehat{e_i},...,e_{p-1}]:{ℝ}^{p-1}\to {ℝ}^p$,

a aplicação linear que leva $e_i$ em $e_i$, para $i<j$, e $e_i$ em $e_{i+1}$, para $j\le i<p$.

$F_i^p$ é o chamado i-ésimo operador face de ${\mathrm{\Delta }}_p$.

Definimos o p-ésimo operador bordo sobre ${\mathrm{\Delta }}_p$ como

${\partial }_p:{\mathrm{\Delta }}_{p-1}\to {\mathrm{\Delta }}_p$ dada por ${\partial }_p(x)=\sum _{i=1}^p(-1{)}^i{F}_i^p(x)$.

Construção do complexo singular

Definimos um p-simplexo singular de $X$ como uma aplicação contínua

$\sigma :{\mathrm{\Delta }}_p\to X$.

Definimos para $p\ge 0$ o p-ésimo grupo singular de $X$, $G_p^s(X)$, como sendo o grupo abeliano livre gerado pelos p-simplexos singulares de $X$. Note que podemos definir também ${\partial }_p$ agindo sobre $G_p^s(X)$. Podemos escrever um elemento qualquer de $G_p^s(X)$ como $\sum _{i=1}^N{c}_i{\sigma }_i$, onde os ${\sigma }_i$'s são p-simplexos singulares de $X$, e os $c_i$'s são inteiros não-nulos. Definimos ${\partial }_p(\sum _{i=1}^N{c}_i{\sigma }_i)$ por $\sum _{i=1}^N{c}_i{\partial }_p({\sigma }_i)$.

Portanto, ${\partial }_p:G_p^s(X)\to G_{p-1}^s(X)$ está bem definida.

Seja $p\in \mathbb{N}$. Chamamos de $Nuc({\partial }_p)$ de grupo dos p-ciclos singulares de X, que será denotado por $Z_p^s(X)$. De forma análoga, diremos que $Im({\partial }_{p+1})$ é o grupo dos p-bordos singulares de X, que será denotado por $B_p^s(X)$. É fácil mostrar que ${\partial }_p{\partial }_{p-1}=0$, e que portanto, $𝒮(X)=\{(G_p^s(X),{\partial }_p){\}}_{p\in \mathbb{N}}$ define um complexo de cadeias, a que chamaremos de complexo de cadeias singulares associado ao espaço topológico $X$ Por definição, o p-ésimo grupo de Homologia de $𝒮(X)$ é grupo $H_p^s(X)=Z_p^s(X)/B_q^s(X)$.