Ideal de tipo linear

Os ideais de tipo linear são amplamente estudados na álgebra comutativa com os anéis de polinômios e sua conexão direta com as álgebra de Rees por conta de sua definição.

Definição

Definição (Ideal de tipo linear) Seja $F=\{f_1,\dots ,f_r\}\subset k[x_1,\dots ,x_n]=R$e $I=(F)$. Considere a aplicação

$\begin{array}{cccc}\phi :& R[y_1,\dots ,y_r]& ⟶& R[f_{1}t,\dots ,f_{r}t]\\ & y_i& \mapsto & f_{i}t\\ & a\in R& \mapsto & a\end{array}$

Então $I$é dito de tipo linear quando os geradores do $\ker (\phi )$tem grau $1$ nas variáveis $y_i$.

Ideais de tipo linear gerados por monômios de grau 2 e álgebra linear

Seja $F=\{X^{{\alpha }_1},\dots ,X^{{\alpha }_n}\}\subset k[x_1,\dots ,x_n]$com ${\alpha }_i=({\alpha }_{i1},\dots ,{\alpha }_{in})\in {\mathbb{Z}}_{+}^n$e $X^{{\alpha }_i}=x_1^{{\alpha }_{i1}}{x}_2^{{\alpha }_{i2}}\cdots x_n^{{\alpha }_{in}}$então a matriz $A_F=[{\alpha }_1|{\alpha }_2|\dots |{\alpha }_n]$é chamada de matriz-log.

Exemplo: Note que para $F=\{xy,yz,xz\}\subset k[x,y,z]$, temos $A_F=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$é a matriz-log do conjunto $F$.

Proposição: Seja $F\subset k[x_1,\dots ,x_n]$ conjunto finito de monômios de grau 2 sem fator comum próprio então $\det (A_F)\ne 0$se, e somente se, $(F)$é ideal de tipo linear. Predefinição:Referências

• Simis, A.;Villarreal, R, Linear syzygies and birational combinatorics, Results Math. 48 (2005), 326-343