Integral de Darboux

Predefinição:Mais fontes Em análise real, um campo da matemática, a integral de Darboux ou soma de Darboux é uma definição possível da integral de uma função. Integrais de Darboux são equivalentes as integrais de Riemann, o que significa que uma função é integrável por integral de Darboux se, e somente se, for integrável pela integral de Riemann, e os valores das duas integrais, caso existam, forem iguais. Integrais de Darboux têm a vantagem de serem mais simples de definir que as integrais de Riemann. Elas são nomeadas em virtude de seu criador, Gaston Darboux.

As integrais inferior e superior de Darboux

Somas de Darboux inferior (verde) e superior (verde mais lavanda) para quatro subintervalos.

Uma partição de um intervalo [a,b] é uma sequência finita de valores x_i tais que

$a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b.$

Cada intervalo [x_i−1,x_i] é chamado um subintervalo da partição. Sendo ƒ:[a,b]→R uma função limitada, e fazendo P ser uma partição de [a,b]:

$P=(x_0,\dots ,x_n)$

Tem-se

$\begin{array}{c}{M}_i=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{\sup }f(x),\\ m_i=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{\inf }f(x).\end{array}$

A soma superior de Darboux de ƒ em relação a P é

$U_{f,P}=\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})M_i.$

A soma inferior de Darboux de ƒ em relação a P é

$L_{f,P}=\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})m_i.$

A integral superior de Darboux de ƒ é

$U_f=\inf \{U_{f,P}:P\text{ uma particao de }[a,b]\}.$

A integral inferior de Darboux de ƒ é

$L_f=\sup \{L_{f,P}:P\text{ uma particao de }[a,b]\}.$

Se U_ƒ = L_ƒ, então diz-se que ƒ é integrável por integral de Darboux e faz-se

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt=U_f=L_f,$

o valor comum das integrais superior e inferior de Darboux.