Jacques Touchard

Predefinição:Info/Cientista Jacques Touchard (Predefinição:Dtlink — Predefinição:Dtlink) foi um matemático francês.

Em 1953 provou que um número perfeito ímpar deve ser da forma 12k + 1 ou 36k + 9. Em combinatória e teoria das probabilidades introduziu os polinômios de Touchard. É também conhecido por sua solução do problema de ménage de determinação do arranjo de assentos nos quais homens e mulheres se alternam e casais não estão sentados ao lado de seu parceiro.

Identidade de Touchard-Catalan

A seguinte identidade algébrica envolvendo os números de Catalan

$C_k=\frac{1}{k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k}),k\ge 0$

é aparentemente devida a Touchard (de acordo com Richard Peter Stanley, que menciona o assunto em seu artigo "Exercises on Catalan and Related Numbers", apresentando uma plenitude de diferentes definições dos números de Catalan). Para n ≥ 0 temos

$C_{n+1}=\sum _{k\le n/2}{2}^{n-2k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k})C_k.$

Usando a função geradora

$C(t)=\sum _{n\ge 0}{C}_n{t}^n=\frac{1-\sqrt{1-4t}}{2t}$

pode ser provado por manipulação algébrica de séries geradoras que a identidade de Touchard é equivalente à equação funcional

$\frac{t}{1-2t}C\left(\frac{t^2}{(1-2t{)}^2}\right)=C(t)-1$

satisfeita pela série geradora de Catalan C(t).