Lei de Biot-Savart

Ilustração representando os termos envolvidos na Lei de Biot Savart

A Lei de Biot-Savart é uma equação do Eletromagnetismo que fornece o campo magnético $𝐁$ gerado por uma corrente elétrica $𝐈$ constante no tempo. Essa equação é válida no domínio da Magnetostática. Podemos dizer que a Lei de Biot-Savart é o ponto de partida para a Magnetostática, tendo assim um papel semelhante à Lei de Coulomb na Eletrostática.

Motivação histórica

Ilustração esquemática do experimento de Oersted.

Já no século XVII havia, dentro da comunidade científica, a suspeita de que fenômenos elétricos e magnéticos pudessem estar interligados. Isso motivou o físico Hans Christian Oersted a conduzir experimentos para observar o efeito da eletricidade numa agulha magnética. Entre 1819 e 1820, Oersted observou que ao se posicionar um fio condutor de um circuito elétrico fechado paralelamente à agulha, essa sofria uma deflexão significativa em relação à sua direção inicial. Oersted publicou os resultados de seu experimento em julho de 1820, limitando-se a uma descrição qualitativa do fenômeno.

A descoberta de Oersted foi divulgada em setembro de 1820 na Academia Francesa, o que motivou diversos estudiosos na França a repetirem e estenderem seus experimentos. A primeira análise precisa do fenômeno foi publicada pelos físicos Jean-Baptiste Biot e Félix Savart, os quais conseguiram formular uma lei que descrevia matematicamente o campo magnético produzido por uma distribuição de corrente elétrica.

A equação

Distribuições unidimensionais

Para distribuições unidimensionais de corrente, a lei de Biot-Savart possui a seguinte forma:

$𝐁(𝐫)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{𝐈\mathbf{(}{𝐫}^{\prime }\mathbf{)}\times \hat{\mathit{\eta }}}{{\eta }^2}d{l}^{\prime }$

Nessa equação, $d{l}^{\prime }$ é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo do trajeto da corrente, $𝐈$ é o vetor corrente elétrica e $\hat{\mathit{\eta }}$ é o versor ao longo da linha que une o elemento infinitesimal de comprimento $d{l}^{\prime }$, cuja posição é ${𝐫}^{\prime }$, ao ponto de cálculo do campo $𝐫$:

$\hat{\mathit{\eta }}=\frac{\mathit{\eta }}{|\mathit{\eta }|}=\frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}$,

e a constante ${\mu }_0$ é a chamada permeabilidade magnética do vácuo

Distribuições bidimensionais

Podemos escrever uma expressão análoga para distribuições bidimensionais de corrente:



$𝐁(𝐫)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{𝐊\mathbf{(}{𝐫}^{\prime }\mathbf{)}\times \hat{\mathit{\eta }}}{{\eta }^2}d{a}^{\prime }$

Onde $𝐊\mathbf{(}{𝐫}^{\prime }\mathbf{)}$ é a corrente por unidade de comprimento-perpendicular-ao-fluxo, também chamada densidade superficial de corrente. Escreve-se:



$𝐊\mathbf{(}{𝐫}^{\prime }\mathbf{)}=\frac{d𝐈}{d{l}_{\perp }}$

Distribuições tridimensionais

Para distribuições tridimensionais de corrente: $𝐁(𝐫)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{𝐉\mathbf{(}{𝐫}^{\prime }\mathbf{)}\times \hat{\mathit{\eta }}}{{\eta }^2}d{\tau }^{\prime }$

Onde $𝐉\mathbf{(}{𝐫}^{\prime }\mathbf{)}$ é a corrente por unidade de área-perpendicular-ao-fluxo, também chamada densidade volumétrica de corrente. Escreve-se:

$𝐉\mathbf{(}{𝐫}^{\prime }\mathbf{)}=\frac{d𝐈}{d{a}_{\perp }}$

Notamos também que o elemento infinitesimal de comprimento $d{𝐥}^{\prime }$ deve ser substituído pelo elemento infinitesimal de área $d{𝐚}^{\prime }$ no caso de distribuições de corrente bidimensionais, e pelo elemento infinitesimal de volume $d{\mathit{\tau }}^{\prime }$ no caso de distribuições de corrente tridimensionais. Em todos os casos expostos nessa sessão, as correntes envolvidas são estacionárias.

Aplicações

Campo de uma corrente retilínea num fio condutor

Ilustração do problema

A Lei de Biot-Savart pode ser empregada para calcular o campo magnético que uma corrente estacionária de intensidade $I$ passando por um fio retilíneo infinito causa num ponto $P$ a uma distância $R$ do fio. Pela regra da mão direita vemos que o produto vetorial $d𝐥\times \widehat{𝐫}$, para $R$ fixo, está contido em círculos de raio $R$ em torno do fio. O versor ao longo de tais círculos é representado por $\hat{\mathit{\varphi }}$. Trabalhando em termos do ângulo $\theta$: $d{l}^{\prime }\sin \alpha =d{l}^{\prime }\cos \theta$

Como $l^{\prime }=R\tan \theta$: $d{l}^{\prime }=\frac{R}{{\cos }^2\theta }d\theta$

E como $R=r\cos \theta$: $\frac{1}{r^2}=\frac{{\cos }^2\theta }{R^2}$

Para um trecho de fio indo de ${\theta }_1$ a ${\theta }_2$:



$𝐁\mathbf{(}𝐫\mathbf{)}=\hat{\mathit{\varphi }}\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\underset{{\theta }_1}{\overset{{\theta }_2}{\int }}\left(\frac{{\cos }^2\theta }{R^2}\right)\left(\frac{R}{{\cos }^2\theta }\right)\cos \theta d\theta =\hat{\mathit{\varphi }}\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi R}\underset{{\theta }_1}{\overset{{\theta }_2}{\int }}\cos \theta d\theta =\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi R}(\sin {\theta }_2-\sin {\theta }_1)$



Se o fio for infinito, então ${\theta }_1=-\frac{\pi }{2}$ e ${\theta }_2=\frac{\pi }{2}$ e a expressão fica apenas: $𝐁=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi R}\hat{\mathit{\varphi }}$

Campo no centro de um polígono de n lados

Geometria de um quadrado

De acordo com o raciocínio empregado anteriormente, o campo gerado no centro de um quadrado por um de seus lados vale: $𝐁=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi R}(\sin {\theta }_2-\sin {\theta }_1)\widehat{𝐳},$

já que o campo gerado por cada lado aponta na direção perpendicular ao plano do quadrado (ou seja, se o quadrado estiver contido no plano xy, o campo apontará na direção de z positivo). Pelo princípio de superposição, o campo gerado pelo quadrado é apenas a soma dos campos gerados por cada um de seus lados: $𝐁\mathbf{(}\text{centro}\mathbf{)}=\sqrt{2}\frac{{\mu }_{0}I}{\pi R}\widehat{𝐳}$

onde $R$ é a menor distância do centro do quadrado até um de seus lados. Podemos generalizar esse resultado para um polígono de n lados fazendo ${\theta }_1=-{\theta }_2=-\frac{\pi }{n}$. Então obtemos: $𝐁=n\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi R}\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\widehat{𝐳}$

Campo de uma espira circular no eixo

Campo de uma espira circular

Consideremos uma espira circular de raio $R$ percorrida por uma corrente estacionária de intensidade $I$. Podemos usar a Lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético a uma distância $z$ do eixo. Lembrando que: $𝐁(𝐫)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{𝐈\times \hat{\mathit{\eta }}}{{\eta }^2}d{l}^{\prime }$

No caso da espira circular: $\eta =\sqrt{z^2+R^2}$

Por questões de simetria, sobre o eixo as componentes do campo paralelas ao plano da espira se cancelam, restando apenas a componente ao longo do eixo. Da figura vê-se que: $\sin \alpha =\frac{R}{r}=\frac{R}{\sqrt{z^2+R^2}}$

Logo: $𝐁(\text{eixo})=\widehat{𝐳}\frac{{\mu }_0}{4\pi }I\int \frac{dl}{{\eta }^2}\sin \alpha =\widehat{𝐳}\frac{{\mu }_0}{4\pi }I\frac{R}{(z^2+R^2{)}^{3/2}}\int dl=\frac{{\mu }_0}{2}I\frac{R^2}{(z^2+R^2{)}^{3/2}}\widehat{𝐳}$

Direção das linhas de campo magnético

Mesmo quando utilizar a Lei de Biot-Savart para calcular o valor do campo numa região não é a estratégia mais eficiente, ela pode nos dar informações sobre a direção das linhas de campo. Para um elemento infinitesimal de corrente, temos:

$d𝐁=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\frac{d𝐥\times \widehat{𝒓}}{r^2}$

que nos diz que em cada ponto, o campo magnético terá a direção do pseudo-vetor $d𝐥\times \widehat{𝐫}$, que é dada pela regra da mão direita. Se posicionarmos o polegar na direção de um elemento de corrente e curvarmos nossos dedos de forma a envolvê-lo, obteremos a direção das linhas de campo naquele ponto.

Ver também

• Lei de Ampère
• Eletromagnetismo
• Produto vetorial
• Integral de linha
• Campo magnético
• Potencial magnético