Lei de Morrie

Lei de Morrie é a identidade trigonométrica

$\cos (20^{\circ })\cdot \cos (40^{\circ })\cdot \cos (80^{\circ })=\frac{1}{8}.$

É um caso especial da identidade geral

$2^n\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos (2^k\alpha )=\frac{\mathrm{sen}(2^n\alpha )}{\mathrm{sen}(\alpha )}$

com n = 3 e α = 20° e do fato que

$\frac{\mathrm{sen}(160^{\circ })}{\mathrm{sen}(20^{\circ })}=\frac{\mathrm{sen}(180^{\circ }-20^{\circ })}{\mathrm{sen}(20^{\circ })}=1,$

pois

$\mathrm{sen}(180^{\circ }-x)=\mathrm{sen}(x).$

O nome é devido ao físico Richard Feynman, quer referiu-se à identidade com este nome. Feynman usou este nome porque assim o aprendeu durante sua infância de um rapaz chamado Morrie Jacobs, que lembrou por toda sua vida.

Uma identidade similar para a função seno também é verificada:

$\mathrm{sen}(20^{\circ })\cdot \mathrm{sen}(40^{\circ })\cdot \mathrm{sen}(80^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{8}.$

Além disso, dividindo a segunda identidade pela primeira resulta:

$\tan (20^{\circ })\cdot \tan (40^{\circ })\cdot \tan (80^{\circ })=\sqrt{3}=\tan (60^{\circ }).$

Prova

Observando a fórmula do ângulo duplo para a função seno

$\mathrm{sen}(2\alpha )=2\mathrm{sen}(\alpha )\cos (\alpha ).$

Resolvendo para $\cos (\alpha )$

$\cos (\alpha )=\frac{\mathrm{sen}(2\alpha )}{2\mathrm{sen}(\alpha )}.$

Segue que:

$\begin{array}{cc}\cos (2\alpha )& =\frac{\mathrm{sen}(4\alpha )}{2\mathrm{sen}(2\alpha )}\\ \cos (4\alpha )& =\frac{\mathrm{sen}(8\alpha )}{2\mathrm{sen}(4\alpha )}\\ & ⋮\\ \cos (2^{n-1}\alpha )& =\frac{\mathrm{sen}(2^n\alpha )}{2\mathrm{sen}(2^{n-1}\alpha )}.\end{array}$

Multiplicando todas estas expressões resulta:

$\cos (\alpha )\cos (2\alpha )\cos (4\alpha )\cdots \cos (2^{n-1}\alpha )=\frac{\mathrm{sen}(2\alpha )}{2\mathrm{sen}(\alpha )}\cdot \frac{\mathrm{sen}(4\alpha )}{2\mathrm{sen}(2\alpha )}\cdot \frac{\mathrm{sen}(8\alpha )}{2\mathrm{sen}(4\alpha )}\cdots \frac{\mathrm{sen}(2^n\alpha )}{2\mathrm{sen}(2^{n-1}\alpha )}.$

Os numeradores e denominadores intermediários se cancelam, resultando apenas primeiro denominador, uma potência de 2 e o numerador final. Notar que existem n termos em ambos os lados da expressão. Assim,

$\prod _{k=0}^{n-1}\cos (2^k\alpha )=\frac{\mathrm{sen}(2^n\alpha )}{2^n\mathrm{sen}(\alpha )},$

que é equivalente à generalização da lei de Morrie.

Ligações externas

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