Lei de Paris Erdogan

Gráfico da relação taxa de crescimento da trinca e o fator intensidade de tensão. Na prática, o modelo é calibrado para modelar o intervalo linear no meio.

Lei de Paris Erdogan (também conhecida como Lei de Paris-Erdogan) relaciona o fator intensidade de tensão com o crescimento sub crítico de trincas, sob um regime de fadiga. Assim, é o modelo mais popular de crescimento de trinca em fadiga usado na ciência dos materiais e mecânica da fratura. A fórmula básica é

$\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}N}=C\mathrm{\Delta }{K}^m$,

onde a é o comprimento da trinca e N o número de ciclos. Assim, o termo na esquerda da equação ,que é conhecido como taxa de propagação de trinca, representa o crescimento infinitesimal do comprimento da trinca por ciclo realizado. Já no lado direito o C e m são constantes do material, e $\mathrm{\Delta }K$ é a variação do fator intensidade de tensão, i.e., A diferença entre o fator intensidade de tensão no carregamento máximo e mínimo.

$\mathrm{\Delta }K=K_{max}-K_{min}$,

onde $K_{max}$ é o fator intensidade de tensão máximo e $K_{min}$ é o mínimo.

Histórico e aplicação

A fórmula foi introduzida por P.C. Paris em 1961. Sendo uma relação de potência entre a taxa de crescimento durante o carregamento cíclico, e a variação do fator intensidade de tensão, A lei de Paris pode ser visualizada como um gráfico linear em um papel log-log, onde o eixo x é a variação do fator intensidade de tensão, e o eixo y representa a taxa de crescimento da trinca.

A lei de paris pode ser usada para quantificar a vida residual (em termos de ciclos de carregamento) de um espécime, dado um tamanho de trinca. Definindo o fator intensidade de tensão como

$K=\sigma Y\sqrt{\pi a}$,

onde $\sigma$ é a tensão uniforme perpendicular ao plano da trinca, Y é um parâmetro adimensional que depende da geometria, o fator intensidade de tensão é

$\mathrm{\Delta }K=\mathrm{\Delta }\sigma Y\sqrt{\pi a}$,

onde $\mathrm{\Delta }\sigma$ é a variação da amplitude de tensão. Y tem valor 1 para uma trinca central em uma placa infinita. O número de ciclos remanescentes pode ser encontrado ao se substituir essa equação na lei de Paris Erdogan

$\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}N}=C\mathrm{\Delta }{K}^m=C(\mathrm{\Delta }\sigma Y\sqrt{\pi a}{)}^m$.

Para trincas relativamente pequenas, Y pode ser assumido independente de a e a equação diferencial pode ser resolvida através da separação de variáveis

$\underset{0}{\overset{N_f}{\int }}\mathrm{d}N=\underset{a_i}{\overset{a_c}{\int }}\frac{\mathrm{d}a}{C(\mathrm{\Delta }\sigma Y\sqrt{\pi a}{)}^m}=\frac{1}{C(\mathrm{\Delta }\sigma Y\sqrt{\pi }{)}^m}\underset{a_i}{\overset{a_c}{\int }}{a}^{-\frac{m}{2}}\mathrm{d}a$

e a seguinte integral

$N_f=\frac{2(a_c^{\frac{2-m}{2}}-a_i^{\frac{2-m}{2}})}{(2-m)C(\mathrm{\Delta }\sigma Y\sqrt{\pi }{)}^m}$,

onde $N_f$ é o número restante de ciclos até a fratura,$a_c$ é o tamanho crítico de trinca no qual fratura instantânea ocorre, e $a_i$ é o tamanho inicial da trinca no qual o crescimento da trinca por fadiga se inicia para uma determinada variação de tensão $\mathrm{\Delta }\sigma$. Se Y depende fortemente de a, métodos numéricos podem ser necessários para encontrar uma solução razoável.

Para a aplicação de juntas adesivas em compósitos, é mais útil expressar a lei de Paris em termos da energia de fratura ao invés de fatores de intensidade de tensões.