Lei zero-um de Kolmogorov

Em teoria da probabilidade, a lei zero-um de Kolmogorov, nomeada em homenagem a Andrei Kolmogorov, especifica que um certo tipo de evento, chamado de evento de cauda, quase certamente acontecerá ou quase certamente não acontecerá, isto é, a probabilidade de que este evento aconteça é $0$ ou $1$.

Eventos de cauda são definidos em termos de sequências infinitas de variáveis aleatórias. Suponha que

$X_1,X_2,X_3,\dots$

seja uma sequência infinita de variáveis aleatórias independentes (não necessariamente distribuídas identicamente). Considere $ℱ$ a σ-álgebra gerada por $X_i$. Então, o evento de cauda $F\in ℱ$ é um evento probabilisticamente independente de cada subconjunto finito destas variáveis aleatórias. Note que a pertinência de $F$ a $ℱ$ implica que a pertinência a $F$ é unicamente determinada pelos valores de $X_i$, mas que a última condição é estritamente mais fraca e insuficiente para provar a lei zero-um. Por exemplo, o evento para o qual a sequência converge e o evento para o qual sua soma converge são ambos eventos de cauda. Em um sequência infinita de cara ou coroa, uma sequência de 100 caras consecutivas ocorrendo infinitamente muitas vezes é um evento de cauda.

Em muitas situações, pode ser fácil aplicar a lei zero-um de Kolmogorov para mostrar que um evento tem probabilidade $0$ ou $1$, mas surpreendentemente difícil determinar qual destes dois valores extremos é o correto.

Formulação

Uma afirmação mais generalizada da lei zero-um de Kolmogorov se aplica a sequências de σ-álgebras independentes. Considere $(\mathrm{\Omega },F,P)$ um espaço de probabilidade e $F_n$ uma sequência de sigmas-álgebras mutuamente independentes contida em $F$. Considere

$G_n=\sigma \left(\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{F}_k\right)$

a menor σ-álgebra contendo $F_n$, $F$_n+1, …. Então, a lei zero-um de Kolmogorov afirma que para qualquer evento

$F\in \bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{G}_n$

haverá $P(F)=0$ ou $1$.

A afirmação da lei em termos de variáveis aleatórias é obtida a partir da última ao considerar cada $F_n$ a σ-álgebra gerada pela variável aleatória $X_n$. Então, um evento de cauda é, por definição, um evento mensurável no que diz respeito às σ-álgebras gerada por todos os $X_n$, mas independente de qualquer número finito de $X_n$. Isto é, um evento de cauda é precisamente um elemento da intersecção ${\bigcap }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{G}_n$.

Exemplos

Uma transformação inversível que preserve a medida em um espaço de probabilidade padrão (também chamado de espaço de probabilidade de Lebesgue-Rokhlin) e que obedeça a lei zero-um é chamada de automorfismo de Kolmogorov. Todos os automorfismos de Bernoulli são automorfismos de Kolmogorov, mas nem todo automorfismo de Kolmogorov é um automorfismo de Bernoulli.

Ver também

• Lema de Borel-Cantelli
• Cauda longa

Ligações externas

• O legado de Andrei Nikolaevich Kolmogorov (em inglês e russo) Currículo, biografia, alunos, descendentes, trabalhos, livros, publicações, artigos, fotografias e retratos de Andrei Kolmogorov.