Lema de Grönwall

Em matemática, o lema de Grönwall estabelece uma importante estimativa aplicável à desigualdade envolvendo derivadas ou integrais. Existem duas versões do lema, a integral e a diferencial.

O Lema de Grönwall é uma ferramenta usada para obter variadas estimativas em equações diferenciais ordinárias.

Em particular, é usado para provar a unicidade de uma solução para o valor inicial do problema (como no Teorema de Picard-Lindelöf).

O Lema de Grönwall é nomeado a partir de Thomas Hakon Grönwall (1877-1932).

Versão Integral

Se, para $t_0\le t\le t_1$, $\varphi (t)\ge 0$ e $\psi (t)\ge 0$ são funções contínuas tais que a desigualdade

$\varphi (t)\le K+L\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\psi (s)\varphi (s)\mathrm{d}s$

se mantenha em $t_0\le t\le t_1$, com $K$ e $L$ sendo constantes positivas, então

$\varphi (t)\le K\exp (L\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\psi (s)\mathrm{d}s)$

sendo $t_0\le t\le t_1.$

Demonstração

É fácil ver que:

$\frac{\varphi (t)}{K+L\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\psi (s)\varphi (s)\mathrm{d}s}\le 1$

definindo $u(t):=K+L\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\psi (s)\varphi (s)\mathrm{d}s$, temos:

$\frac{u^{\prime }}{u}\le L\psi (s)$

Integrando entre $t_0$ e $t$, obtemos:

$\ln u-\ln u(t_0)\le L\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\psi (s)ds$

Usando exponenciais:

$u(t)\le u(t_0)\exp (L\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\psi (s)ds)$

como $u(t_0)=K$ e $\varphi (t)\le u(t)$, vale:

$\varphi (t)\le K\exp (L\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\psi (s)ds)$

Versão Diferencial

Seja $u(t)$ uma função não negativa e diferenciável em $[0,T]$, que satisfaz:

$u^{\prime }(t)\le f(t)u(t)+g(t)$, onde $f(t)$ e $g(t)$ são funções integráveis em [0,T].

Então:

• $u(t)\le u(0)e^{\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau }+\underset{0}{\overset{t}{\int }}g(s)e^{\underset{s}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau }ds,\mathrm{\forall }t\in [0,T]$

Se $f(t)$ e $g(t)$ forem não negativas, então a expressão se simplifica a:

$u(t)\le e^{\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau }[u(0)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}g(s)ds],\mathrm{\forall }t\in [0,T]$

Demonstração

Basta multiplicar a expressão pelo fator integrante $e^{\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau }$ e rearranjar os termos:

$(u(t)e^{-\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau })\le g(t)e^{-\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau }$

Integra-se de 0 a t:

$u(t)e^{-\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau }-u(0)\le \underset{0}{\overset{t}{\int }}g(s)e^{-\underset{0}{\overset{s}{\int }}f(\tau )d\tau }ds$

$u(t)\le e^{\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau }[u(0)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}g(s)e^{\underset{s}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau }ds]$