Lemniscata de Gerono

Na geometria algébrica, a lemniscato de Gerono, ou lemniscato de Huygens, ou curva em forma de oito, é uma curva algébrica plana de grau quatro e gênero zero e é uma curva lemniscada em forma de símbolo $\infty$ ou figura oito. Tem equação:

x^{4} - x^{2} + y^{2} = 0 .

Parametrização

Como a curva é do gênero zero, pode ser parametrizada por funções racionais; um meio de fazer isso é:

x = \frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1}, y = \frac{2 t (t^{2} - 1)}{(t^{2} + 1)^{2}} .

Outra representação é:

x = \cos φ, y = \sin φ \cos φ = \sin (2 φ) / 2

que revela que esse lemniscato é um caso especial de uma figura de Lissajous .

A curva dupla (veja a fórmula de Plücker ), mostrada abaixo, tem, portanto, um caráter um pouco diferente. Sua equação é:

(x^{2} - y^{2})^{3} + 8 y^{4} + 20 x^{2} y^{2} - x^{4} - 16 y^{2} = 0 .