Logaritmo de Zech

O logaritmo de Zech foi nomeado por Julius August Christoph Zech e é utilizado para implementar um corpo finito cujos elementos são representados por $\alpha$.

Definição

Se $\alpha$ é um elemento primitivo de um campo finito, então o logaritmo de Zech em relação à base $\alpha$ é definida pela equação:

$Z_{\alpha }(n)={\log }_{\alpha }(1+{\alpha }^n),$

ou, de maneira equivalente, a:

${\alpha }^{Z_{\alpha }(n)}=1+{\alpha }^n.$

Para ser mais preciso, $Z_{\alpha }$ é uma função de módulos inteiros ordenados pelo multiplicativo $\alpha$, e obtém valores do mesmo conjunto. A fim de descrever cada elemento, é conveniente adicionar formalmente um novo símbolo $-\mathrm{\infty }$, juntamente com as definições:

${\alpha }^{-\mathrm{\infty }}=0$

$n+(-\mathrm{\infty })=-\mathrm{\infty }$

$Z_{\alpha }(-\mathrm{\infty })=0$

$Z_{\alpha }(e)=-\mathrm{\infty }$

em que e é um número inteiro que satisfaça ${\alpha }^e=-1$, o qual mostra que e = 0 para um campo de características 2, e $e=\frac{q-1}{2}$ para um campo finito de características ímpares com q elementos.

Usando o logaritmo Zech, um campo finito aritmético pode ser expresso na representação exponencial:

${\alpha }^m+{\alpha }^n={\alpha }^m\cdot (1+{\alpha }^{n-m})={\alpha }^m\cdot {\alpha }^{Z(n-m)}={\alpha }^{m+Z(n-m)}$

$-{\alpha }^n=(-1)\cdot {\alpha }^n={\alpha }^e\cdot {\alpha }^n={\alpha }^{e+n}$

${\alpha }^m-{\alpha }^n={\alpha }^m+(-{\alpha }^n)={\alpha }^{m+Z(e+n-m)}$

${\alpha }^m\cdot {\alpha }^n={\alpha }^{m+n}$

${\left({\alpha }^m\right)}^{-1}={\alpha }^{-m}$

${\alpha }^m/{\alpha }^n={\alpha }^m\cdot {\left({\alpha }^n\right)}^{-1}={\alpha }^{m-n}$