Método de Lax–Friedrichs

O método de Lax-Friedrichs, em homenagem à Peter Lax e Kurt Otto Friedrichs, é um método numérico para a resolução de equações hiperbólicas em derivadas parciais baseado em diferenças finitas. O método pode ser encontrado a partir do Esquema FTCS (Forward-time central-space). É um método de primeira ordem no tempo e segunda ordem no espaço que apresenta uma estabilidade condicional.

Ilustração do método

A formulação numérica pode ser deduzida a partir da equação da convecção linear:

$\frac{\partial u}{\partial t}+a\frac{\partial u}{\partial x}=0(1)$

Ao discretizarmos a equação (1) pelo esquema FTCS(Forward-time central-space), utilizamos uma diferença adiantada em relação ao tempo (explícito no tempo) e uma diferença centrada em relação ao espaço, lembrando que a diferença centrada é obtida subtraindo $u_{i+1}^n$ de $u_{i-1}^n$ e isolando $\frac{\partial u}{\partial x}$ provenientes das séries de Taylor, onde obtemos a discretização da convecção linear pelo esquema FTCS:

$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\mathrm{\Delta }t}+a\frac{u_{i+1}^n-u_{i-1}^n}{2\mathrm{\Delta }x}=0(2)$

Utilizando a Análise de estabilidade de Von Neumann, descobrimos que esse método é incondicionalmente instável, para resolver esse problema de instabilidade, podemos fazer a seguinte substituição na equação (2):

$u_i^n=\frac{u_{i+1}^n+u_{i-1}^n}{2}$

Obtendo assim o método numérico de Lax-Friedrichs:

$u_i^{n+1}=\left(\frac{u_{i+1}^n+u_{i-1}^n}{2}\right)-\frac{a\mathrm{\Delta }t}{2\mathrm{\Delta }x}(u_{i+1}^n-u_{i-1}^n)(3)$

O qual também pode ser mostrado em relação ao número de Courant–Friedrichs–Lewy(CFL):

$u_i^{n+1}=\left(\frac{u_{i+1}^n+u_{i-1}^n}{2}\right)-\frac{\sigma }{2}(u_{i+1}^n-u_{i-1}^n)(4)$

Estabilidade

A substituição de $u_i^n$ na equação (2) equivale a adicionar um termo de difusão artificial (também conhecida por viscosidade artificial), o que aumentará a estabilidade do método, deixando-o condicionalmente estável. Essa estabilidade condicional, pode ser verificada pela análise de estabilidade de Von Neumann:

• A solução exata do método numérico é representada por U;
• Erros de Round-off são representados por $ϵ$;
• A solução numérica é representada por u, onde:

$u=U+ϵ(5)$

Substituindo (5) em (4) obtemos:

$U_i^{n+1}+{ϵ}_i^{n+1}=\left(\frac{U_{i+1}^n+{ϵ}_{i+1}^n+U_{i-1}^n+{ϵ}_{i-1}^n}{2}\right)-\frac{\sigma }{2}(U_{i+1}^n+{ϵ}_{i+1}^n-(U_{i-1}^n+{ϵ}_{i-1}^n))$

Como U é a solução exata:

$U_i^{n+1}=\left(\frac{U_{i+1}^n+U_{i-1}^n}{2}\right)-\frac{\sigma }{2}(U_{i+1}^n-U_{i-1}^n)$

Então é verdadeiro que:

${ϵ}_i^{n+1}=\left(\frac{{ϵ}_{i+1}^n+{ϵ}_{i-1}^n}{2}\right)-\frac{\sigma }{2}({ϵ}_{i+1}^n-{ϵ}_{i-1}^n)(6)$

Considerando que a função erro, $ϵ$, pode ser expandida usando séries de Fourier:

${ϵ}_i^n=E^n{e}^{I\varphi i}(onde0\le \varphi \le \pi eI=\sqrt{-1})$

Podemos então substituir ${ϵ}_i^n$ em (6), obtendo:

$E_i^{n+1}{e}^{I\varphi i}=\left(\frac{E^n{e}^{I\varphi (i+1)}+E^n{e}^{I\varphi (i-1)}}{2}\right)-\frac{\sigma }{2}(E^n{e}^{I\varphi (i+1)}-E^n{e}^{I\varphi (i-1)})(7)$

Dividindo ambos os lados da equação (7) por $E^n{e}^{I\varphi i}$ e sabendo que o fator de amplitude é dado por $G=\frac{E^{n+1}}{E^n}$ (proveniente da análise de estabilidade Von Neumann), a equação (7) fica:

$G=\left(\frac{e^{I\varphi }+e^{-I\varphi }}{2}\right)-\frac{\sigma }{2}(e^{I\varphi }-e^{-I\varphi })(8)$

Podemos usar as seguintes relações de Euler para simplificação da equação (8):

$e^{I\varphi }=cos\varphi +I\sin \varphi e{e}^{-I\varphi }=cos\varphi -I\sin \varphi$

A equação (8) adquire a seguinte forma:

$G=\cos \varphi -I\sin \varphi (9)$

O critério de Von Neumann afirma que o módulo do fator de amplitude deve ser menor ou igual a 1, a fim de que o método se mantenha estável:

$|G|\le 1$

Calculando então o módulo do fator de amplitude na equação (9), obtemos:

$|G|=\sqrt{{\cos }^2\varphi +{\sigma }^2{\sin }^2\varphi }$

Onde verificamos, segundo o critétio de Von Neumann, que o método é estável se $|\sigma |\le 1$, logo a formulação é condicionalmente estável.

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