Método de Rayleigh-Ritz

Predefinição:Sem notas O método de Rayleigh-Ritz é um método de obtenção de resultados aproximados para Equação diferencial parcial. É semelhante ao Método de Galerkin em que são utilizadas funções testes que atendem as condições de contorno do problema em questão. Entretanto, a aplicação destas funções para aproximação é diferente do Método de Galerkin, uma vez que no Método de Galerkin, a função de aproximação é imposta diretamente na integral ponderada, enquanto no método de Rayleigh-Ritz, a função de aproximação é imposta após a obtenção da Forma Fraca do problema.

O método

Dada uma equação diferencial genérica
$\frac{d}{dx}(a(x)\frac{d}{dx}u)=q$

e as condições de contorno

$u{|}_{x=0}=u_0$

$(a(x)\frac{d}{dx}u){|}_{x=L}$

Aplica-se a o método da Integral Ponderada, atribuindo pesos a função. Isso é feito trazendo o termo q(x) para o outro lado da equação, e multiplicando a equação diferencial por uma função peso w(x), de tal forma que o resultado é:

$(\frac{d}{dx}(a(x)\frac{d}{dx}u)-q)w=0$

Integrando a função obtemos

$\underset{0}{\overset{L}{\int }}(\frac{d}{dx}(a(x)\frac{d}{dx}u)-q)wdx$

Realizando a integração por partes temos

$\underset{0}{\overset{L}{\int }}(\frac{d}{dx}\left(a\frac{d}{dx}u\right)-q)wdx=\left(aw\frac{d}{dx}u\right){|}_0^L-\underset{0}{\overset{L}{\int }}a(x)\frac{d}{dx}w\frac{d}{dx}udx+\underset{0}{\overset{L}{\int }}qwdx$

Assim, temos

$\left(aw\frac{d}{dx}u\right){|}_0^L-\underset{0}{\overset{L}{\int }}a(x)\frac{d}{dx}w\frac{d}{dx}udx+\underset{0}{\overset{L}{\int }}qwdx=0$

Separando o termo dependente de u e w na esquerda, e os demais na direita temos

$\underset{0}{\overset{L}{\int }}a(x)\frac{d}{dx}w\frac{d}{dx}udx=\left(aw\frac{d}{dx}u\right){|}_0^L-\underset{0}{\overset{L}{\int }}qwdx$

Note que no termo $\left(aw\frac{d}{dx}u\right){|}_0^L$ é onde podemos aplicar as condições de contorno do problema.

Assim sendo, a equação restante está na forma fraca genérica

$B(w,u)=l(w)$

O método então busca aproximações para a solução desta equação, estimando a função $u$ por

$u=\sum _{j=1}^N{c}_j{\varphi }_j+{\varphi }_0$

onde ${\left\{{\varphi }_j\right\}}_{j=1}^N$ é o conjunto de funções previamente escolhidas satisfazendo as condições de contorno essencial homogênea do problema, e ${\varphi }_0$ é a função que satisfaz a condição de contorno essencial do problema.

No método de Rayleigh-Ritz, os coeficientes$c_j$ são obtidos substituindo a função peso $w$ por uma das funções de aproximação ${\varphi }_i$. Como no método de Rayleigh-Ritz procura-se a solução $u_N=\sum _{j=1}^N{c}_j{\varphi }_j+{\varphi }_0$ que a satisfaça, determinaremos os coeficientes $c_j$ pela substituição da função peso $w$ e a função $u$, pela função de aproximação ${\varphi }_i$ e a aproximação $u_N$, respectivamente. Assim, faremos que no termo

$B(w,u)=l(w)$

os termos

$w={\varphi }_i$

e

$u=u_N=\sum _{j=1}^N{c}_j{\varphi }_j+{\varphi }_0$

Com isso, obtemos

$B({\varphi }_i,\sum _{j=1}^N{c}_j{\varphi }_j+{\varphi }_0)=l({\varphi }_i),(i=1,2,3,\dots ,N)$

Supondo a bilinearidade do operador B, simplifica-se para

$\sum _{j=1}^{N}B({\varphi }_i,{\varphi }_j)c_j=l({\varphi }_i)-B({\varphi }_i,{\varphi }_0),(i=1,2,3,\dots ,N)$

De maneira mais simplificada, fazendo

$B_{ij}=B({\varphi }_i,{\varphi }_j)$

$F_i=l({\varphi }_i)-B({\varphi }_i,{\varphi }_0)$

Obtemos a forma simplificada como

$\sum _{j=1}^N{B}_{ij}{c}_j=F_i,(i=1,2,3,\dots ,N)$

Isso representa um sistema de N equações algébricas a N incógnitas, com os coeficientes $c_j$, e o sistema possui solução única desde que a matriz $B_{ij}$ seja inversível.

Aplicações

O método de Rayleigh-Ritz é um dos métodos utilizados na análise através do Método dos Elementos Finitos. É um método bastante utilizado por oferecer menos restrições nas funções de aproximação ${\left\{{\varphi }_j\right\}}_{j=1}^N$ . A grande diferença comparado ao Método dos resíduos ponderados é que o Método de Rayleigh-Ritz utiliza as mesmas funções peso $w(x)$ que foram utilizadas para as funções de aproximação ${\left\{{\varphi }_j\right\}}_{j=1}^N$.

Referências

Introduction to the Finite Element Method, Reddy, J.N., McGraw-Hill, 1993, 2 nd. Edition
Fundamentals of Finite Element Analysis, Hutton D. V., McGraw-Hill, 2004 (*)
A First Course In Finite Elements, Fish J., Belytschko T., Wiley, 2007
The Finite Element Method, Hughes, Dover Publications (*)
The Finite Element Method, Zienkiewicz & Taylor, vol.1, 5th. Edition, Butterworth Heinemann (*)
Finite Element Analysis, Szab�o & Babuska, John Wiley & Sons, 1991 (*)
The Finite Element Method Using MATLAB, Kwong & Bang, CRC Press, 2 nd. Edition (*)