Mapa de Hénon

Atrator do mapa de Hénon para $a=1.4$ e $b=0.3$

O mapa de Hénon, proposto originalmente em 1976 por Michel Hénon, é um sistema dinâmica de tempo discreto. É definido pela equação de recorrência

$${𝐱}_{n+1}=𝐟\left({𝐱}_n\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{y}_n+1-a{x}_n^2\\ b{x}_n\end{array}\right)$$

em que $a$ e $b$ são parâmetros fixos. Para alguns valores de $a$ e $b$ verifica-se que esse sistema gera sinais caóticos. Por exemplo, para $a=1.4$ e $b=0.3$ que foram utilizados no trabalho original de Hénon.

Os expoentes de Lyapunov das órbitas que são atraídas para o atrator podem ser obtidos numericamente resultando $h^{(1)}=0.42$ e $h^{(2)}=-1.62$. O expoente positivo e o aspecto aperiódico dos sinais obtidos levam a concluir que ela é caótica.

Sensibilidade a condições iniciais no mapa de Hénon. Duas condições iniciais muito próximas geram sinais separados após algumas iterações. Essa é uma assinatura da presença de caos

Mapa de Hénon 3-D

Mapa de Hénon clássico (15 iterações)

Uma generalização para três dimensões do mapa de Hénon foi proposta por Hitz e Zele. Ela é dada por

$𝐬(n+1)=\left[\begin{array}{c}{s}_1(n+1)\\ s_2(n+1)\\ s_3(n+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\alpha s_1^2(n)+s_3(n)+1\\ -\beta s_1(n)\\ \beta s_1(n)+s_2(n)\end{array}\right]$.

Para $\alpha =1.07$ e $\beta =0.3$ verifica-se que quase todas as condições iniciais dentro da esfera unitária geram sinais caóticos cujo maior expoente de Lyapunov é $0.23$.

Outras generalizações

Diversas outras generalizações têm sido propostas na literatura. Pode-se gerar, por exemplo, sinais caóticos limitados em banda utilizando-se filtros digitais na realimentação do sistema,.

Exemplo de órbita e atrator para o mapa de Hénon tridimensional