Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans

O modelo de Ramsey-Cass-Koopmans, ou simplesmente modelo de Ramsey (em homenagem a Frank Ramsey), é um modelo econômico com poupança endógena.

Neste modelo, a população, de tamanho $N_t$, cresce à taxa n, e é igual à força de trabalho (que é fornecida inelásticamente). As famílias vivem para sempre.

O produto (PIB, representado pela letra Y ou pela função F) é ou consumido ($C_t$) ou investido, ou seja, adicionado ao estoque de capital (representado pela letra K). Em termos formais,

$Y_t=F(K_t,N_t)=C_t+\frac{d{K}_t}{dt}$, ou, em termos per capita, $f\left(k_t\right)=c_t+\frac{d{k}_t}{dt}+n{k}_t$, onde as letras minúsculas indicam variáveis divididas pelo tamanho da população ($N_t$).

Hipótese do planejador central

Neste modelo, um planejador central que queira no momento t=0 maximizar o bem estar da população (representado pela função u, de utilidade) deve escolher, a cada momento quanto deve ser consumido e quanto deve ser investido (adicionado ao estoque de capital para ser consumido no futuro). Ou seja, o planejador deve encontrar a solução para o seguinte problema:

$\max \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}u\left(c_t\right)e^{-\theta t}dt$, sujeito às restrições de que o capital inicial $k_0$ é dado e $k_t\ge 0,c_t\ge 0,\mathrm{\forall }t$

A solução deste problema é encontrada utilizando-se o princípio do máximo. Utilizando-se um Hamiltoniano, as condições necessárias para uma trajetória ótima são duas:

• $\lim t\to \mathrm{\infty }\left[k_t\frac{du(c_t)}{d{c}_t}{e}^{-\theta t}\right]=0$, ou seja, não faz sentido acumular capital indefinidamente. No infinito, o capital vai ser inteiramente transformado em consumo.
• $\frac{c_t\left[\frac{d^{2}u(c_t)}{d{c}_t}\right]}{\frac{du(c_t)}{d{c}_t}}\cdot \frac{d{c}_t/dt}{c_t}$ $=\theta +n-\frac{df(k_t)}{d{k}_t}$. Esta é a equação de Euler, que descreve a condição necessária que tem que ser satisfeita em qualquer trajetória ótima. É chamada de condição de Keynes-Ramsey.

Neste problema, o capital (e consumo) do estado estacionário são inferiores ao da regra de ouro, devido à taxa de impaciência $\theta$ dos indivíduos.

Ver também

• Predefinição:Link