Modelo de Reed-Frost

O Modelo de Reed-Frost é um modelo epidêmico estocástico criado na década de 1920 pelo matemático Lowell Reed e médico Wade Hampton Frost, ambos professores da Universidade Johns Hopkins. Apesar de originalmente eles utilizarem o modelo em 1925, em suas aulas de epidemiologia, somente na década de 1950 a formulação matemática foi publicada e transformada em um programa de TV.

História

Ficheiro:Lowell reed.png

Lowell Reed no programa Epidemic theory: what is it? , apresentando o modelo criado por ele e Frost.

Durante a década de 1920, o matemático Lowell Reed e o médico Wade Hampton Frost desenvolveram um modelo de cadeia binomial para a propagação de doenças, utilizado nas suas aulas de bioestatística e epidemiologia na Universidade Johns Hopkins. Apesar de não terem publicado seus resultados, vários outros acadêmicos fizeram referência a eles em seus estudos. Somente em 1950 a formulação matemática foi publicada e transformada em um programa de televisão intitulado Epidemic theory: what is it?.

No programa, Lowell Reed, após explicar a definição formal do modelo, demonstra a sua aplicação por meio de uma experimentação com bolas de gudes de diferentes cores.

Ficheiro:Lowellreedandmarbles.png

Aqui, Lowell Reed demonstra o uso do modelo, despejando bolas de gude na calha para simular um período de tempo de uma epidemia.

O modelo é uma extensão do que foi proposto por H. E. Soper em 1929 para o sarampo. O modelo de Soper era determinístico, em que todos membros da população eram igualmente suscetíveis à doença e tinham poder infeccioso, a capacidade de transmitir doenças. O modelo também se baseou na lei de ação das massas, para que a taxa de infecção em um determinado momento fosse proporcional ao número de suscetíveis e infecciosos naquela época. Ele é eficaz para populações moderadamente grandes, mas não leva em consideração vários infecciosos que entram em contato com o mesmo indivíduo. Portanto, em pequenas populações o modelo superestima muito o número de indivíduos suscetíveis que se tornam infectado.

Reed e Frost modificaram o modelo Soper para levar em consideração o fato de que apenas um novo caso seria produzido, se um determinado suscetível tivesse contato com dois ou mais casos. O modelo Reed-Frost tem sido amplamente utilizado e tem servido como base para o desenvolvimento de estudo de simulação de propagação de doenças mais detalhado.

Descrição

O modelo de Reed-Frost é um modelo epidêmico SIR, em que S denomina a classe de suscetível para a doença em questão, I para os infectados (assumimos que todos infectados são infecciosos) e R para removidos ou recuperados.

Estados do modelo epidêmico SIR.

O modelo trabalha com o tempo discreto, em que as infecções ocorrem em gerações (semelhante a um processo de ramificação). Os eventos probabilísticos de uma geração dependem apenas da geração anterior, além disso são descritos com uma probabilidade binomial. Por isso tudo, o modelo também é conhecido por modelo de cadeia binomial.

O modelo é baseado nas premissas:

1. A população é fechada (taxas de morte, nascimento, imigração e emigração não são consideradas).
2. A infecção ocorre por meio de contatos infecciosos (aqueles em que é possível ocorrer a infecção) com indivíduos infectados e somente assim.
3. Os contatos são independentes.
4. Qualquer indivíduo suscetível, após um contato infeccioso, torna-se infectado no tempo seguinte. Em outras palavras, não há intervalo de tempo entre a mudança de estado de suscetível para infectado.
5. Os infectados são removidos após uma unidade de tempo (geração).

Uma das ferramentas mais importantes nos modelos matemáticos epidemiológicos é o número básico de reprodução (ou taxa básica de reprodução) usualmente denotado por $R_0$. A partir dele, é possível afirmar se ocorrerá ou não um surto epidêmico. No modelo de Reed-Frost, $R_0=p.N$ ou $R_0=p(N-I_0)$, em que $N$ é o número total da população e $I_0$ a quantidade inicial de infectados.

Abordagem Matemática

Sejam $S_j$ e $I_j$ o número de suscetíveis e infectados respectivamente no tempo $j$. Sendo $q$ a probabilidade de escapar de um contato infeccioso, a cadeia binomial de Reed-Frost possui as probabilidades condicionais:

$\begin{array}{cc}& \mathrm{Pr}(I_{j+1}=i_{j+1}\mid S_0=s_0,I_0=i_0,\cdots ,S_j=s_j,I_j=I_j)\\ =& \mathrm{Pr}(I_{j+1}=i_{j+1}\mid S_j=s_j,I_j=i_j)\\ =& (\genfrac{}{}{0ex}{}{s_j}{i_{j+1}})(1-q^{i_j}{)}^{i_{j+1}}(q^{i_j}{)}^{s_j-i_{j+1}}.\end{array}$

Em que $S_{j+1}=S_j-I_{j+1}$. Isso significa que um indivíduo suscetível na geração $j$, permanece suscetível se escapar de todos os infectados da sua geração, e os contatos infecciosos são independentes. Além disso, dado os estados inicias $S_0=n$ e $I_0=m$ a probabilidade da cadeia completa: $i_1,\cdots ,i_k,i_{k+1}=0$ é obtida condicionando sequencialmente e utilizando as propriedades da cadeia de Markov. Isto é, seja $s_{j+1}=s_j-i_{j+1}$, temos que:

$\begin{array}{cc}& \mathrm{Pr}(I_1=i_1,\cdots ,I_k=i_k,I_{k+1}=0\mid S_0=n,I_0=m)\\ & =\mathrm{Pr}(I_1=i_1|S_0=n,I_0=m)\times \cdots \times \mathrm{Pr}(I_{k+1}=0\mid S_k=s_k,I_k=i_k)\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i_1})(1-q^m{)}^{i_1}(q^m{)}^{n-i_1}\times \cdots \times (\genfrac{}{}{0ex}{}{s_k}{0})(1-q^{i_k}{)}^0(q^{i_k}{)}^{s_k}.\end{array}$

Um outro fator importante no estudo de uma epidemia é a quantidade total de infectados. Para encontrá-la, usa-se a fórmula $Z=\sum _{j\ge 1}{Y}_j$ (note que os primeiros infectados são excluídos). Para encontrar a probabilidade de ter-se $z$ infectados, soma-se todas as probabilidades tal que $|y|=\sum _{j\ge 1}{y}_j=z$, ou seja,

$\mathrm{Pr}(Z=z|S_0=n,I_0=m)=\sum _{y:|y|=z}\mathrm{Pr}(I_1=i_1,\cdots ,I_k=i_k,I_{k+1}=0|S_0=n,I_0=m).$

Perceba que se $I_j=0\Rightarrow I_{j+1}=0$. Isso implica que só é possível ter um novo infectado, se existe algum indivíduo infectado. Portanto, o tamanho da cadeia não pode ser maior do que o número total de infectados, tornando o número de possibilidades de cadeias finito.

Finalmente, obtêm-se o número de novos suscetíveis e pessoas recuperadas, respectivamente, pelas equações:

$\begin{array}{cc}& S_{j+1}=S_j-I_{j+1},\\ & R_{j+1}=R_j+I_j=\sum _{r=0}^j{I}_r.\end{array}$

Como a população é fechada, $S_j+I_j+R_j=N$ para todo $j$. As equações acima formam o modelo de Reed-Frost.

Exemplo

Considere uma família com 3 pessoas (todas morando na mesma casa) em que uma delas está infectada e as outras duas estão suscetíveis. Esse modelo assume que os infectados são removidos após uma geração (uma unidade de tempo). Então, entre uma geração e outra, os seguintes eventos podem acontecer:

1. Nenhum dos suscetíveis é infectado;
2. Os dois são infectados;
3. Um deles é infectado.

Sejam $q$ a probabilidade de um suscetível escapar de uma infecção e $p=1-q$. Então, a probabilidade de (1) é $q^2$, e, nesse caso, a cadeia termina. Além disso, a cadeia também termina se (2) ocorrer - com probabilidade $p^2$. O caso (3) possui mais implicações.

A probabilidade de (3) ocorrer é $2pq$. Na próxima geração, a casa terá um infectado e um suscetível somente. A partir daí, podem acontecer dois eventos: o suscetível não é infectado com probabilidade $q$, e então teremos a probabilidade final $2pq.q=2p{q}^2$, ou o suscetível é infectado com probabilidade $p$, e a probabilidade final é $2p^{2}q$. A tabela abaixo ilustra esse caso com diferentes valores de $p$.

Cadeia	Probabilidades	com $p=0,4$	com $p=0,7$	Número final de infectados
$1\to 0$	$q^2$	0,360	0,90	1
$1\to 1\to 0$	$2p{q}^2$	0,288	0,126	2
$1\to 1\to 1$	$2p^{2}q$	0,192	0,294	3
$1\to 2$	$p^2$	0,160	0,490	3
Total	1	1,000	1,000

Ver também

• Modelos epidemiológicos
• Epidemiologia