Modus tollens

Modus tollens (Latim: modo que nega por negação) ou negação do consequente, é o nome formal para a prova indireta, também chamado de modo apagógico.

Descrição

É um argumento comum, simples:

Se $P$, então $Q$.

$Q$ é falso.

Logo, $P$ é falso.

ou em notação de lógica:

$p\to q$,

¬ $q$

$⊢$ ¬ $p.$

onde $⊢$ representa a asserção lógica.

ou em forma da teoria dos conjuntos:

$P\subseteq Q$

$x\in ̸Q$

∴$x\in ̸P$

("$P$ é um subconjunto de $Q$. $x$ não pertence a $Q$. Logo, $x$ não pertence a $P$.")

Na forma de conjuntos podemos exemplificar da seguinte forma:

Digamos que existe um conjunto de alimentos que $E$ngordam.

Nesse conjunto existe: $P$astel, $B$rigadeiro e $C$erveja. $E=\{P,B,C\}$

Todos que comem Pastel ($P$), então Engordam ($E$). ( $P\to E$),

Não Engordei. (¬ $E$)

Logo não comi Pastel ( $⊢$ ¬ $P$)

Exemplos

O argumento tem duas premissas. A primeira premissa é a condição se-então, nomeadamente que $P$ implica $Q$. A segunda premissa é que $Q$ é falso. Dessas duas premissas pode-se concluir logicamente que $P$ tem de ser falso. (Por que? Se $P$ fosse verdadeiro, então $Q$ seria verdadeiro pela premissa 1, mas não é pela premissa 2).

Considere dois exemplos:

Se existe fogo aqui, então aqui também há oxigênio.

Não há oxigênio aqui.

Então aqui não há fogo.

Na lógica matemática

A regra modus tollens pode ser vista como uma aplicação da regra modus ponens por contraposição.

A contraposição diz-nos que $p\to q$é equivalente a $\mathrm{\neg }q\to \mathrm{\neg }p$, então com a regra modus ponens inferimos que $\frac{\mathrm{\neg }q\to \mathrm{\neg }p,\mathrm{\neg }q}{\mathrm{\neg }p}$.

Essa regra está assim ligada a demonstrações por contraposição, ou ainda a demonstrações por contradição (reductio ad absurdum).

Tabela de verdade

A tabela de verdade da implicação numa lógica binária (em que 1 = Verdade, 0 = Falso) demonstra a regra modus tollens em lógica binária.

Afirmar p ⇒ q significa que é verdade, ou seja:

(p ⇒ q) = 1

por outro lado, afirmar ¬ q significa que q é falso, ou seja:

q = 0

Portanto, basta olhar para a tabela da implicação:

p	q	p ⇒ q	(p ⇒ q)=1∧(q=0)
1	1	1	0
1	0	0	0
0	1	1	0
0	0	1	1

Por hipótese, só interessam os casos em que q = 0 e (p ⇒ q) = 1, assim só a última linha é verdadeira.

Conclui-se que p = q = 0 em particular p = 0, ou o que é o mesmo (¬p) = 1.

Ver também

• Modus ponens
• Implicação
• Falseabilidade
• Falácia