Monogamia do emaranhamento

Na física quântica, a "monogamia" do emaranhamento quântico refere-se à propriedade fundamental de que não pode ser livremente compartilhada entre arbitrariamente muitas partes.

Para que dois qubits A e B sejam maximamente emaranhados, eles não devem estar emaranhados com nenhum terceiro qubit C de forma alguma. Mesmo que A e B não estejam maximamente emaranhados, o grau de emaranhamento entre eles limita o grau em que cada um pode estar emaranhado com C. Em plena generalidade, para $n\ge 3$ qubits $A_1,\dots ,A_n$, a monogamia é caracterizada pela desigualdade de Coffman–Kundu–Wootters (CKW), que afirma que

$\sum _{k=2}^n\tau ({\rho }_{A_1{A}_k})\le \tau ({\rho }_{A_1(A_2\dots A_n)})$

onde ${\rho }_{A_1{A}_k}$ é a matriz de densidade do subestado consistindo dos qubits $A_1$ e $A_k$ e $\tau$ é o "emaranhamento", uma quantificação do emaranhamento bipartido igual ao quadrado da concorrência.

Monogamia, que está intimamente relacionada à propriedade de não clonagem, é puramente uma característica das correlações quânticas e não tem análogo clássico. Supondo que duas variáveis aleatórias clássicas X e Y estejam correlacionadas, podemos copiar, ou "clonar", X para criar arbitrariamente muitas variáveis aleatórias que compartilham precisamente a mesma correlação com Y. Se deixarmos X e Y serem estados quânticos emaranhados, então X não pode ser clonado, e esse tipo de resultado "poligâmico" é impossível.

A monogamia do emaranhamento tem amplas implicações para aplicações da mecânica quântica que vão desde a física de buracos negros até a criptografia quântica, onde desempenha um papel crucial na segurança da distribuição de chaves quânticas.

Prova

A monogamia do emaranhamento bipartido foi estabelecida para sistemas tripartidos em termos de concorrência por Coffman, Kundu e Wootters em 2000. Em 2006, Osborne e Verstraete estenderam esse resultado para o caso multipartido, provando a desigualdade CKW.

Exemplo

Para ilustrar, considere o estado de três qubits $|\psi ⟩\in ({ℂ}^2{)}^{\otimes 3}$ composto pelos qubits A, B e C. Suponha que A e B formem um par EPR (maximamente emaranhado). Vamos mostrar que:

$|\psi ⟩=|\text{EPR}{⟩}_{AB}\otimes |\varphi {⟩}_C$

para algum estado quântico válido $|\varphi {⟩}_C$. Pela definição de emaranhamento, isso implica que C deve estar completamente desemaranhado de A e B.

Quando medidos na base padrão, A e B colapsam nos estados $|00⟩$ e $|11⟩$ com probabilidade $\frac{1}{2}$ cada. Segue-se que:

$|\psi ⟩=|00⟩\otimes ({\alpha }_0|0⟩+{\alpha }_1|1⟩)+|11⟩\otimes ({\beta }_0|0⟩+{\beta }_1|1⟩)$

para alguns ${\alpha }_0,{\alpha }_1,{\beta }_0,{\beta }_1\in ℂ$ tal que $|{\alpha }_0{|}^2+|{\alpha }_1{|}^2=|{\beta }_0{|}^2+|{\beta }_1{|}^2=\frac{1}{2}$. Podemos reescrever os estados de A e B em termos de vetores de base diagonal $|+⟩$ e $|-⟩$:

$|\psi ⟩=\frac{1}{2}(|++⟩+|+-⟩+|-+⟩+|--⟩)\otimes ({\alpha }_0|0⟩+{\alpha }_1|1⟩)+\frac{1}{2}(|++⟩-|+-⟩-|-+⟩+|--⟩)\otimes ({\beta }_0|0⟩+{\beta }_1|1⟩)$

$=\frac{1}{2}(|++⟩+|--⟩)\otimes (({\alpha }_0+{\beta }_0)|0⟩+({\alpha }_1+{\beta }_1)|1⟩)+\frac{1}{2}(|+-⟩+|-+⟩)\otimes (({\alpha }_0-{\beta }_0)|0⟩+({\alpha }_1-{\beta }_1)|1⟩)$

Por serem maximamente emaranhados, A e B colapsam para um dos dois estados $|++⟩$ ou $|--⟩$ quando medidos na base diagonal. A probabilidade de observar resultados $|+-⟩$ ou $|-+⟩$ é zero. Portanto, de acordo com a equação acima, deve ser o caso de que ${\alpha }_0-{\beta }_0=0$ e ${\alpha }_1-{\beta }_1=0$. Segue imediatamente que ${\alpha }_0={\beta }_0$ e ${\alpha }_1={\beta }_1$. Podemos reescrever nossa expressão para $|\psi ⟩$ conforme:

$|\psi ⟩=(|++⟩+|--⟩)\otimes ({\alpha }_0|0⟩+{\alpha }_1|1⟩)$

$=|\text{EPR}{⟩}_{AB}\otimes (\sqrt{2}{\alpha }_0|0⟩+\sqrt{2}{\alpha }_1|1⟩)$

$=|\text{EPR}{⟩}_{AB}\otimes |\varphi {⟩}_C$

Isso mostra que o estado original pode ser escrito como um produto de um estado puro em AB e um estado puro em C, o que significa que o estado EPR nos qubits A e B não está emaranhado com o qubit C.