Nó figura oito

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Nó figura oito com extremidades unidas.

Na teoria dos nós, um nó figura oito (também chamado de nó Listing) é o único nó com quatro cruzamentos. Este é o menor número possível de cruzamentos, exceto para o nó trivial e o nó de trevo. O nó figura oito é um nó primo.

Origem do nome

O nome é dado porque amarrando um nó figura oito em uma corda e depois unindo as extremidades, da maneira mais natural, dá um modelo do nó matemático.

Descrição

Uma simples representação paramétrica do nó figura oito é com o conjunto de todos os pontos (x,y,z) onde:

$\begin{array}{cc}x& =(2+\cos (2t))\cos (3t)\\ y& =(2+\cos (2t))\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(3t)\\ z& =\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(4t)\end{array}$

para t variando sobre números reais, consulte a representação visual 2D no canto inferior direito.

O nó figura oito é um nó primo, alternando e racional, com um valor associado de 5/2, e também é um nó quiral e nó de fibra. Isto segue-se a partir de outras, menos simples, (mas muito interessante) representações do nó:

(1) Ele é uma trança fechada homogênea (nomeadamente, o encerramento da terceira seqüência da trança σ₁σ₂⁻¹σ₁σ₂⁻¹), e o teorema de João Stallings mostra que qualquer trança fechada homogênea é um nó fibra.

(2) É o enlaço (0,0,0,0) de um ponto crítico isolado de um polinômio mapa F: R⁴→R², então (de acordo com o teorema de John Milnor) o mapa de Milnor de F é, na verdade, um nó fibra. Bernard Perron encontrou o primeiro F para esse nó, ou seja, $$F(x,y,z,t)=G(x,y,z^2-t^2,2zt),$$ onde $$\begin{array}{cc}G(x,y,z,t)=& (z(x^2+y^2+z^2+t^2)+x(6x^2-2y^2-2z^2-2t^2),\\ & tx\sqrt{2}+y(6x^2-2y^2-2z^2-2t^2)).\end{array}$$

Propriedades matemáticas

O nó figura oito tem desempenhado um papel importante historicamente (e continua a fazê-lo) na teoria do coletor tridimensional. Em algum momento em meados da década de 1970, William Thurston , mostrou que o nó figura oito era hiperbólico, pela decomposição de seu complemento em dois tetraédros hiperbólicos ideais. (Robert Riley e Troels Jørgensen, trabalhando de forma independente, havia mostrado que o nó figura oito era hiperbólico por outros meios.) Esta construção, nova na época, levou-o a muitos resultados e métodos poderosos. Por exemplo, ele foi capaz de mostrar que todas as cirurgias Dehn, exceto dez, no nó figura oito resultaram em três dimensões não-Haken, não-Seifert-fibra irredutíveis; estes foram os primeiros exemplos. Muitos mais foram descobertos, generalizando a construção Thurston para outros nós e enlaces.

O nó figura oito também é nó hiperbólico cujo complemento tem o menor volume possível, 2.02988... de acordo com o trabalho de Chun Cao e Robert Meyerhoff. A partir desta perspectiva, o nó figura oito pode ser considerado o nó hiperbólico mais simples. O nó figura oito possui complemento de  duplo-recobrimento, que tem o menor volume entre os não-hiperbólico compacto tridimensionais.

O nó figura oito e o nó (-2,3,7) são apenas os dois nós hiperbólicos conhecidos por ter mais de 6 cirurgias excepcionais (Dehn cirurgia) resultando em um não-hiperbólico coletor tridimensional; eles têm 10 e 7, respectivamente. O teorema de Lackenby e Meyerhoff, cuja prova se baseia na conjectura de geometrização  e com a assistência de computador, considera-se que 10 é o maior número possível de cirurgias excepcional de qualquer nó hiperbólico. No entanto, não se sabe atualmente se o nó de oito é o único que atinge o limite de 10. É bem conhecida a conjectura de que o dependente (exceto para os dois nós mencionados) é o 6.

Descrição quadrada da configuração do nó figura oito.

Representação simétrica gerada por equações paramétricas.

Superfície ilustrando nó figura oito

Constantes

O polinômio de Alexander do nó figura oito é: $$\mathrm{\Delta }(t)=-t+3-t^{-1},$$ o polinômio Conway é: $$\mathrm{\nabla }(z)=1-z^2,$$ e o polinômio de Jones é: $$V(q)=q^2-q+1-q^{-1}+q^{-2}.$$ A simetria entre $q$ e $q^{-1}$ no polinômio de Jones reflete o fato de que o nó figura oito é aquiral.

Ver também

• Nó trivial
• Nó de trevo
• Hebesfenorotunda triangular
• Enlace

Ler mais

• Ian Agol, Limites excepcionais, Dehn de enchimento, Geometria E Topologia 4 (2000), 431–449. Predefinição:MathSciNet
• Chun Cao e Robert Meyerhoff, A orientação mais agudo hiperbólico de 3 variedades de volume mínimo, Inventiones Mathematicae, 146 (2001), não. 3, 451–478. Predefinição:MathSciNet
• Marc Lackenby, Word hiperbólica Dehn cirurgia, Inventiones Mathematicae 140 (2000), não. 2, 243–282. Predefinição:MathSciNet
• Marc Lackenby e Robert Meyerhoff, O número máximo de excepcional Dehn cirurgias, arXiv:0808.1176
• Robion Kirby, Problemas na baixa-dimensional topologia, (ver problema 1.77, devido a Cameron Gordon, por excepcional pistas)
• William Thurston, a Geometria e A Topologia de Três Variedades, da Universidade de Princeton, anotações de aula (1978-1981).