Operador escada

Em álgebra linear, e em suas aplicações em mecânica quântica, um operador escada ou operador de escada (tais como os operadores elevador ou de criação e abaixador ou de destruição) é um operador que aumenta ou diminui o autovalor de outro operador. Em mecânica quântica, o operador elevador é também é conhecido como operador de criação, enquanto o abaixador é chamado de operador de destruição ou aniquilação. Aplicações dos operadores escada podem ser vistas em mecânica quântica no oscilador harmônico quântico e no momento angular.

Propriedades gerais

Suponhamos que os operadores $\hat{X}$ e $\hat{N}$ tenham uma relação de comutação que é proporcional ao operador $\hat{X}$

$[\hat{N},\hat{X}]=c\hat{X}$

sendo $c$ um escalar. Se $|n⟩$ é um auto-estado de $\hat{N}$, ou seja,

$\hat{N}|n⟩=n|n⟩,$

Em seguida, o operador $\hat{X}$ atuará em $|n⟩$, acrescentando assim, $c$ ao auto-valor, isto é,

$\hat{N}\hat{X}|n⟩$	$=(\hat{X}\hat{N}+[\hat{N},\hat{X}])|n⟩$
	$=(\hat{X}\hat{N}+c\hat{X})|n⟩$
	$=\hat{X}\hat{N}|n⟩+c\hat{X}|n⟩$
	$=\hat{X}n|n⟩+c\hat{X}|n⟩$
	$=(n+c)\hat{X}|n⟩.$

Em outras palavras, se $|n⟩$ é um auto-estado de $\hat{N}$ com auto-valor $n$, então $\hat{X}|n⟩$ é um auto-estado de $\hat{N}$ com auto-valor $n+c$. O operador $\hat{X}$ será um operador elevador para $\hat{N}$ se $c$ for real e positivo, e um operador abaixador para $\hat{N}$ se $c$ for real e negativo.

Se $\hat{N}$ é um operador hermitiano, então $c$ deve ser real, sendo que o operador adjunto de $\hat{X}$ obedece a seguinte relação:

$[\hat{N},\widehat{X^{†}}]=-c\widehat{X^{†}}.$

Em particular, se $\hat{X}$ é um operador abaixador para $\hat{N}$, então $\widehat{X^{†}}$ é um operador elevador para $\hat{N}$, e vice-versa.