Pêndulo quântico

O pêndulo quântico é fundamental para entender as rotações internas impedidas na química, as características quânticas dos átomos de dispersão, bem como numerosos outros fenômenos quânticos. Embora um pêndulo não sujeito à aproximação de pequeno ângulo tenha uma não-linearidade inerente, a equação de Schrödinger para o sistema quantizado pode ser resolvida de forma relativamente fácil.

Equação de Schrödinger

Usando a teoria lagrangiana da mecânica clássica, pode-se desenvolver um hamiltoniano para o sistema. Um pêndulo simples tem uma coordenada generalizada (o deslocamento angular $\varphi$) e duas restrições (o comprimento da corda e o plano de movimento). As energias cinéticas e potenciais do sistema podem ser encontradas em

$T=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\varphi }}^2,$

$U=mgl(1-\cos \varphi ).$

Isso resulta no Hamiltoniano

$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m{l}^2}+mgl(1-\cos \varphi ).$

A equação de Schrödinger dependente do tempo para o sistema é

$i\hslash \frac{d\mathrm{\Psi }}{dt}=-\frac{{\hslash }^2}{2m{l}^2}\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{\Psi }}{\mathrm{d}{\varphi }^2}+mgl(1-\cos \varphi )\mathrm{\Psi }.$

É preciso resolver a equação de Schrödinger independente do tempo para encontrar os níveis de energia e os auto-estados correspondentes. Isso é efetuado melhor alterando a variável independente da seguinte maneira:

$\eta =\varphi +\pi ,$

$\mathrm{\Psi }=\psi e^{-iEt/\hslash },$

$E\psi =-\frac{{\hslash }^2}{2m{l}^2}\frac{{\mathrm{d}}^2\psi }{\mathrm{d}{\eta }^2}+mgl(1+\cos \eta )\psi .$

Esta é a equação de Mathieu.

$\frac{{\mathrm{d}}^2\psi }{\mathrm{d}{\eta }^2}+(\frac{2mE{l}^2}{{\hslash }^2}-\frac{2m^{2}g{l}^3}{{\hslash }^2}-\frac{2m^{2}g{l}^3}{{\hslash }^2}\cos \eta )\psi =0,$

onde as soluções são as funções Mathieu.