Partícula em um anel

Na mecânica quântica, o caso de uma partícula em um anel unidimensional é semelhante à partícula em uma caixa. A equação de Schrödinger para uma partícula livre que é restrita a um anel (tecnicamente, cujo espaço de configuração é o círculo $S^1$) é

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi =E\psi$

Função de onda

Usando coordenadas polares no anel unidimensional de raio R, a função de onda depende somente da coordenada angular, e assim

${\mathrm{\nabla }}^2=\frac{1}{R^2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}$

exigindo que a função de onda seja periódica em $\theta$ com um período $2\pi$ (da demanda de que as funções de onda sejam funções de valor único no círculo), e que elas sejam normalizadas leva às condições

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{|\psi (\theta )|}^{2}Rd\theta =1$,

e

$\psi (\theta )=\psi (\theta +2\pi )$

Nestas condições, a solução da equação de Schrödinger é dada por

${\psi }_{\pm }(\theta )=\frac{1}{\sqrt{2\pi R}}{e}^{\pm i\frac{R}{\hslash }\sqrt{2mE}\theta }$