Pentagrama KCBS

Em fundamentos quânticos, o pentagrama KCBS foi descoberto por Alexander Klyachko, M. Ali Can, Sinem Binicioglu e Alexander Shumovsky como um exemplo que refuta modelos de variáveis ocultas não contextuais.

Descrição

Digamos que temos um pentagrama, que é um grafo com 5 vértices e 5 arestas. Cada vértice pode ser colorido de vermelho ou azul. Diz-se que uma aresta corresponde se ambos os seus vértices têm a mesma cor. Caso contrário, é uma incompatibilidade.

Em um modelo de variável oculta, o número total de incompatibilidades em todas as arestas deve ser um número par devido à ciclicidade, ou seja, 0, 2 ou 4. Assim, com uma mistura de probabilidade sobre atribuições de variáveis ocultas, o valor esperado da soma de incompatibilidades em todas as 5 arestas deve estar entre 0 e 4.

Então, alguém lhe entrega um grande número de pentagramas KCBS, mas a princípio, todas as cores estão ocultas. Você é informado de que só pode descobrir 2 vértices no máximo, e somente se eles compartilharem uma aresta comum. Assim, para cada pentagrama, você escolhe aleatoriamente uma aresta e descobre as cores em seus vértices. Essa escolha aleatória é necessária porque se os produtores de pentagramas pudessem adivinhar sua escolha para cada pentagrama com antecedência, ele poderia ter "conspirado" para enganá-lo.

Encontramos, não importa qual borda você escolha, azul-azul com probabilidade de $1-\frac{2}{\sqrt{5}}$, vermelho-azul com $\frac{1}{\sqrt{5}}$, e vermelho-azulado com $\frac{1}{\sqrt{5}}$. Assim, o valor esperado da soma dos desajustes é $2\sqrt{5}\approx 4.47>4$.

Cada pentagrama é um sistema quântico 3D com base ortonormal $\{|A⟩,|B⟩,|C⟩\}$. Cada pentagrama é inicializado para $|C⟩$. Cada vértice é atribuído a um projetor 1D projetando para $\frac{1}{\sqrt{\sqrt{5}}}|C⟩+\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{5}}}[\cos \left(\frac{4\pi n}{5}\right)|A⟩+\sin \left(\frac{4\pi n}{5}\right)|B⟩]$, n= 0,..., 4. Projetores adjacentes comutam. Se projetarmos, pinte o vértice de vermelho. Caso contrário, pinte-o de azul.