Processo de Gauss–Markov

Um processo de Gauss–Markov, que recebe este nome em homenagem ao matemático alemão Carl Friedrich Gauss e ao matemático russo Andrei Markov, é um processo estocástico que satisfaz os requisitos tanto dos processos de Gauss, como dos processos de Markov. O processo de Gauss–Markov estacionário é também conhecido como processo de Ornstein–Uhlenbeck.

Descrição

Todo processo de Gauss–Markov $X(t)$ possui as três seguintes propriedades:

1. Se $h(t)$ for uma função escalar não nula de $t$, então, $Z(t)=h(t)X(t)$ é também um processo de Gauss–Markov;
2. Se $h(t)$ for uma função escalar não decrescente de $t$, então, $Z(t)=X(f(t))$ é também um processo de Gauss–Markov;
3. Há uma função escalar não nula $h(t)$ e uma função escalar não decrescente $f(t)$, tal que $X(t)=h(t)W(f(t))$, em que $W(t)$ é um processo de Wiener padrão.

A terceira propriedade significa que todo processo de Gauss–Markov pode ser sintetizado a partir do processo de Wiener padrão.

Propriedades

Um processo de Gauss–Markov com variância $\mathbf{\text{E}}(X^2(t))={\sigma }^2$ e constante de tempo ${\beta }^{-1}$ tem:

• Autocorrelação exponencial: ${\mathbf{\text{R}}}_x(\tau )={\sigma }^2{e}^{-\beta |\tau |}$.
• Uma função de densidade espectral de potência que tem a mesma forma da distribuição de Cauchy: ${\mathbf{\text{S}}}_x(j\omega )=\frac{2{\sigma }^2\beta }{{\omega }^2+{\beta }^2}.$

Note que a distribuição de Cauchy e este espectro diferem entre si por fatores de escala.

O que foi exposto acima produz a seguinte fatoração espectral:

${\mathbf{\text{S}}}_x(s)=\frac{2{\sigma }^2\beta }{-s^2+{\beta }^2}=\frac{\sqrt{2\beta }\sigma }{(s+\beta )}\cdot \frac{\sqrt{2\beta }\sigma }{(-s+\beta )},$

que é importante na filtração de Wiener e outras áreas.

Há também algumas exceções triviais ao que foi descrito acima.

Ver também

• Processo Ornstein–Uhlenbeck