Produto de Cauchy

Predefinição:Sem-fontes Em matemática, o produto de Cauchy (em homenagem a Augustin Louis Cauchy) de duas séries formais (isto é, não necessariamente convergentes) de números reais ou complexos. O produto de Cauchy de duas sequências $(a_n{)}_{n\ge 0}$, $(b_n{)}_{n\ge 0}$, é a convolução discreta das duas sequências, a sequência $(c_n{)}_{n\ge 0}$ cujo termo geral é dado por

$c_n=\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}.$

Em outras palavras, é a sequência cuja associada série de potência formal ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{X}^n$ é o produto das duas séries semelhantemente associadas a $(a_n{)}_{n\ge 0}$ e $(b_n{)}_{n\ge 0}$.

Séries

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n,\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n,$

é definido mediante uma convolução discreta:

$\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n,\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}{c}_n=\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}$

para n = 0, 1, 2, …

"Formal" significa que as séries são manipuladas sem prestar atenção a aspectos de convergência. Não é preciso que as séries sejam convergentes. Veja por exemplo, séries de potência formais.

É de esperar, que por analogia com as somas finitas, no caso em que as duas séries forem convergentes, a soma da série infinita

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n$

seja igual ao produto

$\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\right)\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\right)$

da mesma maneira em que este seria correto quando cada uma das duas somas que multiplicam-se possui um número finito de termos.

Em casos suficientemente bem comportados, cumpre-se com a expressão anterior. Mas—e este é um ponto importante—o produto de Cauchy de duas séries existe ainda no caso que uma ou ambas das séries infinitas correspondentes não forem convergentes.

Predefinição:Esboço-matemática