Propriedades de raízes de polinômios

Na matemática, cotas para raízes de polinômios são estimativas para a grandeza do módulos das raízes de uma função polinomial, isto é, uma função do tipo:

$P(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n,x\in ℂ$

onde os coeficientes $a_0,\dots ,a_n$ são números complexos e $a_n\ne 0$. Tais cotas localizam as raízes da função polinomial em uma região limitada do plano complexo, normalmente um círculo.

Teorema Fundamental da álgebra

O teorema fundamental da álgebra diz que "um polinômio de grau n tem n raízes se forem considerados as raízes reais e imaginárias com seu grau de multiplicidade." A partir desse teorema podemos escrever um polinômio de grau $n$ com raízes ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_r$ de uma maneira diferente:

$p_n(x)=a_n(x-{\alpha }_1{)}^{m1}(x-{\alpha }_2{)}^{m2}...(x-{\alpha }_r{)}^{mr}$

Onde: $m1+m2+...+mr=n$ e o $a_n$ é o coeficiente de $x^n$ e $mk$ é o grau de multiplicidade da raiz ${\alpha }_k.$

Cota de Laguerre-Thibault

O teorema de Laguerre diz que dado um polinômio $P(x)$ com coeficientes reais e dado um número, obtemos $P(x)=(x-a)q(x)+R$. Se os coeficientes de $q(x)$ e $R$ forem todos positivos ou nulos, então teremos que todas as raízes reais positivas $xj$ verificam $xj<a$.

Dado $P(x)=0$ com coecientes reais, fazendo a deflação de $P(x)$ por $x-1$, $x-2$,

$x-3$..., até $x-m$, onde $q(x)$ tenha todos os seus coeficientes positivos ou nulos, assim como $R(x)>0$ tal $m$ é conhecido como cota superior das raízes reais de $P(x)=0$. Para determinar a cota inferior deve se fazer o mesmo procedimento para $P(-x)$ e assim tem-se a cota inferior.

Por exemplo:

Dado o polinômio $P(x)=x^5-3x^4+2x^3-5x^2+20x-10$.

Consideramos a tarefa de localizar as raízes de $P(x)=0$.

	1	-3	2	-5	20	-10
1		1	-2	0	-5	15
	1	-2	0	-5	15	5

	1	-3	2	-5	20	-10
2		2	-2	0	-10	20
	1	-1	0	-5	10	10

	1	-3	2	-5	20	-10
3		3	0	6	3	69
	1	0	2	1	23	59

Portando temos que todas as raízes positivas de $P(x)=0$ são menores que $3$. Conclui-se que $3$ é cota superior de $P(x)$.

Para localizar as raízes negativas faz-se o mesmo procedimento, porém, agora o procedimento é aplicado ao polinômio obtido ao multiplicar-se $P(-x)=-x^5-3x^4-2x^3-5x^2-20x-10$ por $-1$.

	1	3	2	5	20	10
1		1	4	6	11	31
	1	4	6	11	31	41

Portanto temos que todas as raízes negativas de $P(x)=0$ são maiores que $-1$. Conclui-se que $-1$ é Cota inferior de $P(x)$.

Temos então que as raízes de $P(x)$ pertencem ao intervalo $[-1,3]$.

Cota de Kojima

Tendo a sequencia de valores $q_1=|a_{n-1}|/|a_n|,q_2=(|a_{n-2}|/|a_n|{)}^{1/2},\dots ,q_n=(|a_0|/|a_n|{)}^{1/n}$ com $a_0\ne 0,a_n\ne 0.$

Assim todas as raízes de $P_n(x)$ encontram-se no círculo do plano complexo onde o raio é a soma dos dois maiores valores da sequencia.

Por exemplo:

Dado o polinômio $P(x)=7x^5+3x^4-4x^3+2x^2+x-2$

Verificamos que a série de fatores é:

$[(3/7{)}^{1/1},(4/7{)}^{1/2},(2/7{)}^{1/3},(1/7{)}^{1/4},(2/7{)}^{1/5}]$.

Concluimos que a cota de Kojima é:

$(4/7{)}^{1/2}+(2/7{)}^{1/5}=1.534$

Cota de Cauchy

Dado um polinômio $P(x)$, tem-se que toda raiz real ou complexa da equação $P(x)=0$ obedece a relação: $\alpha <\beta$. Onde temos que:

$\beta =\underset{i\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}_i.$

Tendo o processo interativo com $x_0>=0$

$x_{i+1}={[\frac{|a_{n-1}|}{|a_n|}{x}^{n-1}+\dots +\frac{|a_1|}{|a_n|}x+\frac{|a_0|}{|a_n|}]}^{\frac{1}{n}}{a}_0\ne 0,a_n\ne 0.$

Por exemplo:

Dado o polinômio $P(x)=-5x^4+100x^3-75x^2+25x+125$ determine a cota de Cauchy.

Temos então:

$x_{i+1}=(20x^3+15x^2+5x+25{)}^{0.25}$

Com $x_0=0$, o processo interativo converge a $20.738$.