Quadripotencial eletromagnético

Predefinição:Sem notas O quadripotencial eletromagnético é um quadrivetor definido em unidades SI (e unidades gaussianas em parênteses) como

$A^{\alpha }=(\frac{\varphi }{c},\overrightarrow{A})(A^a=(\varphi ,\overrightarrow{A}))$

na qual $\varphi$ é o potencial elétrico, e $\overrightarrow{A}$ é o potencial magnético, um vetor potencial.

Os campos elétricos e magnéticos associados com estes quadripotenciais são:

$\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\varphi -\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}(-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\varphi -\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t})$

$\overrightarrow{B}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A}$

Ele é útil para agrupar os potenciais nesta forma porque $A_{\alpha }$ é um vetor covariante de Lorentz, significando que ele transforma-se do mesmo modo como as coordenadas espaço-tempo (t, x) sob transformações no grupo de Lorentz: rotações e transformação de Lorentz. Como resultado, o produto interno

$A^{\alpha }{A}_{\alpha }=|\overrightarrow{A}{|}^2-\frac{{\varphi }^2}{c^2}(A^a{A}_a=|\overrightarrow{A}{|}^2-{\varphi }^2)$

é o mesmo em cada quadro referencial inercial.

Frequentemente, físicos empregam a condição gauge de Lorenz ${\partial }_{\alpha }{A}^{\alpha }=0$ para simplificar as equações de Maxwell como:

${◻}^2{A}_{\alpha }=-{\mu }_0{J}_{\alpha }({◻}^2{A}_{\alpha }=-\frac{4\pi }{c}{J}_{\alpha })$

onde $J_{\alpha }$ são os componentes do quadricorrente,

e

${◻}^2={\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}$ é o operador d'Alembertiano.

Em termos dos pontenciais escalar e vetorial, esta última equação torna-se:

${◻}^2\varphi =-\frac{\rho }{{ϵ}_0}({◻}^2\varphi =-4\pi \rho )$

${◻}^2\overrightarrow{A}=-{\mu }_0\overrightarrow{j}({◻}^2\overrightarrow{A}=-\frac{4\pi }{c}\overrightarrow{j})$

Referências

• Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5.
• Jackson, J D (1999). Classical Electrodynamics (3rd). New York: Wiley. ISBN ISBN 0-471-30932-X.