Quaternião

Conjuntos de números

$ℕ \subset ℤ \subset ℚ \subset ℝ \subset ℂ \subset ℍ \subset \dots$

$𝕀 \subset ℝ \subset ℂ \subset ℍ \subset \dots$

Os Predefinição:PEPB são uma extensão $ℍ$ do conjunto dos números complexos $ℂ$ . Mais precisamente, o conjunto $ℍ$ é uma álgebra associativa formada pelos números da forma $u + x i + y j + z k$ , onde $u, x, y, z \in ℝ$ e $i$ , $j$ e $k$ são unidades imaginárias ( $i^{2} = j^{2} = k^{2} = - 1$ ). Além disso, temos que $i j = k, j k = i, k i = j, j i = - k, k j = - i, i k = - j$ , de forma que a multiplicação não é comutativa. A soma e o produto entre quaterniões podem ser calculadas usando-se as demais propriedades da álgebra, tais como a regra distributiva e associativa.^[1]^[2]

$u$ é chamada de parte escalar do quaternião e $x i + y j + z k$ é chamada de parte vetorial. Também dizemos que $u$ é a parte real e $x i + y j + z k$ é a parte imaginária do quaternião. Aos números $u$ , $x$ , $y$ e $z$ denominamos coeficientes.

Conceitos

Em uma conta, deve-se realizar sempre a multiplicação, e então a soma; divisão; subtração etc...

Quaternião escalar

Um quaternião escalar é aquele em que a parte vetorial é nula ( $q =$ $u$ ).

Quaternião vetorial

Um quaternião vetorial é aquele em que a parte escalar é nula ( $q = x i + y j + z k$ ).

Conjugado de um quaternião

O conjugado de um quaternião é o mesmo com os sinais da parte vetorial invertidos.

Assim, dado o número quaterniônico $q = u + x i + y j + z k$ , seu conjugado é então:

$\overline{q} = u - x i - y j - z k$ .

Módulo

O módulo de um número quaterniônico é igual a raiz quadrada da soma do quadrado de seus coeficientes. Assim, dado o número $q = u + x i + y j + z k$ , seu módulo é então:

$| q | = \sqrt{u^{2} + x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

Operações elementares

Adição e subtração

Na soma ou subtração de quaterniões, soma-se ou subtrai-se os coeficientes das bases correspondentes, conforme o caso. Assim, dados os números:

q = u + x i + y j + z k

e

p = a + b i + c j + d k

temos:

$q + p =$ $(u + a) + (x + b) i + (y + c) j + (z + d) k$

$q - p =$ $(u - a) + (x - b) i + (y - c) j + (z - d) k$

Multiplicação

Produto interno ou escalar

Dados os quaterniões $q = u + x i + y j + z k$ e $p = a + b i + c j + d k$ , o produto interno entre eles é dado por:

$q p = p q = a u + b x + c y + d z$

Como se pode notar, o produto interno tem como resultado uma quantidade escalar (um número real).

Produto externo ou vetorial

Sejam $q = u + x i + y j + z k$ e $p = a + b i + c j + d k$ números quaterniônicos, então o produto exterior $q p$ (usualmente, $q p \neq p q$ ) é definido como:

$q p =$ $(u + x i + y j + z k)$ $(a + b i + c j + d k)$

$= u a + u b i + u c j + u d k + x i a + x i b i + x i c j + x i d k + y j a + y j b i + y j c j + y j d k + z k a + z k b i + z k c j + z k d k$

$= u a + u b i + u c j + u d k + x a i - x b + x c k - x d j + y a j - y b k - y c + y d i + z a k + z b j - z c i - z d$

$= (u a - x b - y c - z d) + (u b + x a + y d - z c) i + (u c - x d + y a + z b) j + (u d + x c - y b + z a) k$

E importante notar que esse produto não é comutativo, isto é, existem q e p tais que $q p \neq p q$ .

Divisão

A não-comutatividade dos quaterniões permite dois tipos de divisão $p^{- 1} q$ e $q p^{- 1}$ . Isso significa que a notação $\frac{q}{p}$ não pode ser usada a menos que $p$ ou $q$ seja um escalar.

\frac{a}{b} = \frac{a \bar{b}}{| b |^{2}}

b ≠ 0.

Representação através de matrizes

Há pelo menos duas formas de se representar quaterniões como matrizes, de tal forma que a adição e a multiplicação de quaterniões correspondem à adição da matriz e à multiplicação de matrizes (isto é, homomorfismo matriz-quaternião).

Uma dessas formas é usar matrizes complexas 2×2 , e a outra é usar matrizes reais 4×4 . Na primeira forma, o quaternião a + b i + c j + d k é representado como

(\begin{matrix} a + b i & c + d i \\ - c + d i & a - b i \end{matrix})

Essa representação tem diversas propriedades agradáveis.

Os números complexos (c = d = 0) correspondem às matrizes diagonais.
O quadrado do valor absoluto de um quaternião é a determinante da matriz correspondente.
O conjugado de um quaternião corresponde à matriz transposta conjugada da matriz.

Restringindo-se aos quaterniões unitários, essa representação fornece o isomorfismo entre S³ e SU (2). O último grupo é importante em mecânica quântica no que se diz respeito à rotação. (Ver também matrizes de Pauli)

. Na segunda forma, o quaternião a + b i + c j + d k é representado como

(\begin{matrix} a & - b & - c & - d \\ b & a & - d & c \\ c & d & a & - b \\ d & - c & b & a \end{matrix})

Nessa representação, o conjugado de um quaternião corresponde a matriz transposta da matriz. A quarta potência do valor absoluto de um quaternião é a determinante da matriz correspondente.

Construção de Cayley-Dickson

De acordo com a construção de Cayley-Dickson, um quaternião é um par ordenado de números complexos. Seja j uma nova raiz de −1, diferente de i e −i, e seja u e v um par de números complexos, então

q = u + j v

é um quaternião.

Se u = a + i b e v = c + i d, então

q = a + i b + j c + j i d

.

Além disso, seja:

j i = - i j

,

tal que:

q = a + i b + j c + i j (- d)

,

e também seja o produto dos quaterniões associativo.

Com estas regras, pode-se agora derivar a tabela da multiplicação para i, j e ij, os componentes imaginários de um quaternião:

i i = - 1,

i j = (i j),

i (i j) = (i i) j = - j,

j i = - (i j),

j j = - 1,

j (i j) = - j (j i) = - (j j) i = i,

(i j) i = - (j i) i = - j (i i) = j,

(i j) j = i (j j) = - i,

(i j) (i j) = - (i j) (j i) = - i (j j) i = i i = - 1 .

Note que a díade i j se comporta exatamente como o k na definição.

Para todo o número complexo v = c + i d, seu produto com j têm a seguinte propriedade:

j v = v^{*} j

Já que:

j v = j c + j i d = j c - (i j) d = (c - i d) j = v^{*} j

.

Seja p um quaternião com componentes complexos w e z:

p = w + j z

.

Então o produto qp é:

q p = (u + j v) (w + j z) = u w + u j z + j v w + j v j z

Visto que o produto de números complexos é comutativo, temos:

(u + j v) (w + j z) = (u w - z v^{*}) + j (u^{*} z + w v)

que é precisamente como a multiplicação de quaterniões é definida pela construção de Cayley-Dickson.

Note que se u = a + i b, v = c + i d, e p = a + i b + j c + kd então a construção de p de u e v é de preferência:

p = u + v j = u + j v^{*}

.

Aplicações

Rotações de vetores em 3D

A rotação de vetores em 3D pode ser compactamente representada através de quaterniões.

Sejam v e w vetores, $w \neq 0$ , e $α$ um ângulo. Então a rotação de v, no sentido anti-horário, em torno do eixo dado por w é dada por:

R (v) = q v q^{- 1}

em que q é o quaternião (de módulo 1):

q = \cos \frac{α}{2} + \sin \frac{α}{2} \frac{w}{‖ w ‖}

Predefinição:Referências

Ver também

Predefinição:Navbox Predefinição:Portal3

Predefinição:Controle de autoridade

[1] ttp://www.emis.ams.org/classics/Hamilton/OnQuat.pdf

[2] ttp://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm12/quaternioes.htm

[1]

[2]

Quaternião

Índice

Conceitos

Quaternião escalar

Quaternião vetorial

Conjugado de um quaternião

Módulo

Operações elementares

Adição e subtração

Multiplicação

Produto interno ou escalar

Produto externo ou vetorial

Divisão

Representação através de matrizes

Construção de Cayley-Dickson

Aplicações

Rotações de vetores em 3D

Ver também

Menu de navegação

Quaternião

Conceitos

Quaternião escalar

Quaternião vetorial

Conjugado de um quaternião

Módulo

Operações elementares

Adição e subtração

Multiplicação

Produto interno ou escalar

Produto externo ou vetorial

Divisão

Representação através de matrizes

Construção de Cayley-Dickson

Aplicações

Rotações de vetores em 3D

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