Raiz da velocidade quadrática média

Distribuições de densidade de probabilidade da velocidade molecular de quatro gases nobres a uma temperatura de 298,15 K (25 °C). Os quatro gases são hélio (⁴He), néon (²⁰Ne), argon (⁴⁰Ar) y xénon (¹³²Xe); os subíndices indicam os seus números de massa.

A raiz da velocidade quadrática média é uma medida da velocidade de uma partícula num gás. A mesma se expressa mediante a fórmula:

$v_{rms}=\sqrt{\frac{3RT}{M_m}}$

onde v_rms é a raiz da média quadrática da velocidade, M_m é a massa molar do gás, R é a constante universal dos gases perfeitos, e T é a temperatura em Kelvin.

Para a dedução dessa fórmula, considera-se um recipiente fechado cúbico de arestas de comprimento L, e uma molécula de gás com massa m e velocidade v.

Tem-se que o sentido da velocidade vx da molécula é perpendicular a uma das paredes, e que as colisões com a parede são elásticas. O momento transferido para a parede em uma colisão é dado por:

$\mathrm{\Delta }{p}_x=(-m.v_x)-(m.v_x)=-2.m.v_x$

Devemos considerar que a molécula se choca contra uma das paredes do recipiente a cada intervalo Δt. Como o espaço percorrido é 2L, a uma velocidade vx, temos que $\mathrm{\Delta }t=\frac{2L}{v_x}$.

Com a união dessas duas relações, obtém-se a variação do momento em relação ao tempo:

$\frac{\mathrm{\Delta }p}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{m{v}_x^2}{L}=F_x$

Recipiente cúbico com uma molécula de gás.

Que, pela segunda lei de Newton , é a força perpendicular a uma das paredes. Dividindo a força somada de todas moléculas pela área, obtemos a pressão sobre aquela parede.

$P=\frac{F_x}{L^2}=\frac{m}{L^3}(v_{x1}^2+v_{x2}^2+...+v_{xN}^2)$ , onde N é o número de moléculas dentro do cubo.

Sabendo que $N=n.N_A$, onde $N_A$ é o número de Avogadro e $n$ é o número de mols, a soma das velocidades individuais pode ser substituida pela velocidade de 1 mol de moléculas x Número de Avogadro:

$P=\frac{mn{N}_A}{L^3}(v_x^2)med$

Com $L^3$ sendo o volume V e $m.N_A$ sendo a massa molar M, e considerando que todas as moléculas do recipiente tem movimentos em direções aleatórias, ou seja, $V_x^2=V_y^2=V_z^2=\frac{1}{3}.V^2$, podemos simplificar a pressão para:

$P=\frac{nM}{3V}(v^2)med$

Finalmente, isolando $v_{med}^2$ = $v_{rms}^2$em função das outras variáveis e substituindo PV com a Lei dos gases ideais ($PV=nRT$), obtemos a equação da velocidade quadrática média para gases ideais:

$v_{rms}=\sqrt{\frac{3RT}{M_m}}$

Este conceito é muito adequado tanto para o caso de gases com comportamento próximos de gases ideais como o hélio e o oxigénio diatómico. Podemos expressar a raiz da velocidade média quadrática em função da constante de Boltzmann:

$v_{rms}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}$

onde m é a massa de uma molécula do gás.

Utilizando o Princípío de Lei da conservação da energia:

$E_{\mathrm{k}}=\frac{3}{2}nRT=\frac{3}{2}NkT$

onde E_k é a energia cinética e No número de moléculas do gás.

$E_{\mathrm{k},\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}}=\frac{1}{2}m{v}^2$

Dado que v² não considera a direcção do movimento, é lógico assumir que a fórmula pode ser estendida a toda a amostra, substituindo m pela massa de toda a amostra, ou seja a massa molar multiplicada pelo número de moles, "nM", resultando:

$\frac{1}{2}nM{v}^2=E_{\mathrm{k}}$

Portanto:

$v_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}=\sqrt{\frac{2E_{\mathrm{k}}}{m}}$

o qual é equivalente.

Um exemplo importante onde é necessário conhecer as velocidades de um gás é a Distribuição de Maxwell-Boltzmann, e têm aplicações como o estudo de partículas de alta velocidade na superfície do sol e na superfície de um lago, por exemplo.

Ver também

• Constante de Boltzmann