Redutível à homogênea

Algumas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem não se enquadram em nenhum dos métodos clássicos de solução. No entanto, as vezes é possível reescrever essas equações de modo a viabilizar o uso de um método clássico de solução. Este é o caso das equações redutíveis à homogênea. Essa classe de equações tem o lado direito dado por uma função que depende de uma expressão do tipo $\frac{a_{1}t+b_{1}y+c_1}{a_{2}t+b_{2}y+c_2},a_i,b_i,c_i\in ℝ,i=1,2$. Independente das constantes $a_i,b_i,c_i\in ℝ,i=1,2,$ existem substituições que permitem reescrever a equação como uma equação homogênea de primeira ordem. Por esse motivo, essa classe é chamada de redutíveis à homogênea

Definição

Considere a equação diferencial ordinária de primeira ordem

$y^{\prime }=f(t,y).$

Se $f(t,y)$ é da forma $f(t,y)=\varphi \left(\frac{a_{1}t+b_{1}y+c_1}{a_{2}t+b_{2}y+c_2}\right)$, em que $a_i,b_i,c_i\in ℝ,i=1,2$, dizemos que a equação é redutível à homogênea.

Exemplos

1. $y^{\prime }=\frac{t+y-2}{t-1}.$
2. $y^{\prime }=\frac{2t-6y-1}{t-3y-4}.$

Resolvendo uma equação redutível a homogênea

Há dois casos a considerar:

• Se $a_1{b}_2-b_1{a}_2\ne 0.$

Observe que neste caso o sistema linear $\{\begin{array}{c}{a}_{1}t+b_{1}y+c_1=0\\ a_{2}t+b_{2}y+c_2=0\end{array}$ tem única solução $t_0,y_0.$

Neste caso definimos $u=t-t_0$ e $v=y-y_0$. Logo, $du=dt$ e $dv=dy$.

Com base nisso,

$a_{1}t+b_{1}y+c_1=a_1(u+t_0)+b_1(v+y_0)+c_1=a_{1}u+b_{1}v+a_1{t}_0+b_1{y}_0+c_1=a_{1}u+b_{1}v$

e

$a_{2}t+b_{2}y+c_2=a_2(u+t_0)+b_2(v+y_0)+c_2=a_{2}u+b_{2}v+a_2{t}_0+b_2{y}_0+c_2=a_{2}u+b_{2}v,$

pois $t_0,y_0$ é solução do sistema linear.

Dessa forma, a equação diferencial fica

$y^{\prime }=\varphi \left(\frac{a_{1}u+b_{1}v}{a_{2}u+b_{2}v}\right)=\varphi \left(\frac{a_1+b_1\frac{v}{u}}{a_2+b_2\frac{v}{u}}\right)=\psi \left(\frac{v}{u}\right)$

que é uma equação homogênea em relação as variáveis $u$ e $v$.

A solução da equação é obtida usando o método para equações homogêneas de primeira ordem.

• Se $a_1{b}_2-b_1{a}_2=0.$

Segue que $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\kappa$. Portanto, $a_1=a_2\kappa$ e $b_1=b_2\kappa$.

Com isso, a equação diferencial inicial fica

$y^{\prime }=\varphi \left(\frac{\kappa (a_{2}t+b_{2}y)+c_1}{a_{2}t+b_{2}y+c_2}\right).$

Façamos agora a mudança de variável $z=a_{2}t+b_{2}y$. Daí, $dz=a_{2}dt+b_{2}dy$ ou $\frac{dz}{dt}=a_2+b_2\frac{dy}{dt}.$ De onde segue que

$\frac{dy}{dt}=(\frac{dz}{dt}-a_2)\frac{1}{b_2}.$

Substituíndo na equação inicial

$\frac{z^{\prime }-a_2}{b_2}=\varphi \left(\frac{\kappa z+c_1}{z+c_2}\right).$

ou

$z^{\prime }=b_2\varphi \left(\frac{\kappa z+c_1}{z+c_2}\right)+a_2.$

Que é uma equação de variável separavel. Logo, obtemos a solução usando o método de separação de variáveis