Regra da alavanca

Em química, a regra da alavanca é uma fórmula utilizada para determinar a fração molar (x_i) ou a fração mássica (w_i) de cada fase de um diagrama de fases binário para uma composição binária e uma temperatura que estejam entre as linhas das duas fases correspondentes.

Em uma mistura com duas fases, $\alpha$ e $\beta$, que contêm dois componentes, $\mathrm{A}$ e $\mathrm{B}$, a regra da alavanca afirma que a fração mássica da fase $\alpha$ é calculada como segue:

$w^{\alpha }=\frac{w_{\mathrm{B}}-w_{\mathrm{B}}^{\beta }}{w_{\mathrm{B}}^{\alpha }-w_{\mathrm{B}}^{\beta }}$

denotando-se por

• $w_{\mathrm{B}}^{\alpha }$ a fração de massa do componente $\mathrm{B}$ na fase $\alpha$;
• $w_{\mathrm{B}}^{\beta }$ a fração de massa do componente $\mathrm{B}$ na fase $\beta$;
• $w_{\mathrm{B}}$ a fração de massa do componente $\mathrm{B}$ em toda a mistura;

sendo os valores para uma temperatura ou pressão fixa.

Dedução

Suponha-se uma mistura a uma temperatura de equilíbrio $T$ que consiste numa fração mássica $w_{\mathrm{B}}$ do componente $\mathrm{B}$. Ainda, seja a mistura na temperatura $T$ constituída de duas fases, $\alpha$ e $\beta$, tendo $\alpha$ a composição $w_{\mathrm{B}}^{\alpha }$ e $\beta$ a composição $w_{\mathrm{B}}^{\beta }$ . Denote-se por $m_{\alpha }$ a massa da fase $\alpha$ na mistura de modo que a massa da fase $\beta$ seja $m^{\beta }=m-m^{\alpha }$, com $m$ sendo a massa total da mistura.

Tem-se, pois, por definição, que a massa do componente $\mathrm{B}$ na fase α é $m_{\mathrm{B}}^{\alpha }=w_{\mathrm{B}}^{\alpha }{m}^{\alpha }$, enquanto a massa desse componente na fase $\beta$ é $m_{\mathrm{B}}^{\beta }=w_{\mathrm{B}}^{\beta }(m-m^{\alpha })$. A soma desses valores resulta na massa total do componente $\mathrm{B}$ na mistura, que é dada por $m_{\mathrm{B}}=w_{\mathrm{B}}m$ . Portanto,

$w_{\mathrm{B}}m=m_{\mathrm{B}}=m_{\mathrm{B}}^{\alpha }+m_{\mathrm{B}}^{\beta }=w_{\mathrm{B}}^{\alpha }{m}^{\alpha }+w_{\mathrm{B}}^{\beta }(m-m^{\alpha })$

Reorganizando a expressão acima, tem-se que

$w^{\alpha }\equiv \frac{m^{\alpha }}{m}=\frac{w_{\mathrm{B}}-w_{\mathrm{B}}^{\beta }}{w_{\mathrm{B}}^{\alpha }-w_{\mathrm{B}}^{\beta }}$

Esse valor final é a fração mássica da fase $\alpha$ na mistura.

Cálculos

Um diagrama de fase com linha de amarração ($\mathrm{L}\mathrm{S}$) para um sistema binário isomorfo com fases líquida e sólida. O eixo $x$ corresponde à fração mássica dos componentes $\mathrm{A}$ e $\mathrm{B}$.

Diagramas de fases binários

Antes que qualquer cálculo possa ser efetuado, uma linha de amarração é desenhada no diagrama de fases para determinar a fração mássica de cada componente; no diagrama de fases à direita, é o segmento de reta $\mathrm{L}\mathrm{S}$. Essa linha de amarração é desenhada horizontalmente na temperatura da mistura de uma fase para outra (no exemplo citado, do líquido para o sólido). A fração mássica do componente $\mathrm{B}$ na linha do líquido é dada por $w_{\mathrm{B}}^{\mathrm{l}}$ (representada como w_l nesse diagrama), e sua fração mássica na linha do sólido é dada por $w_{\mathrm{B}}^{\mathrm{s}}$ (representada como w_s na figura). As frações mássicas de sólido e de líquido podem, então, ser calculadas usando as seguintes equações da regra da alavanca:

$w^{\mathrm{s}}=\frac{w_{\mathrm{B}}-w_{\mathrm{B}}^{\mathrm{l}}}{w_{\mathrm{B}}^{\mathrm{s}}-w_{\mathrm{B}}^{\mathrm{l}}}$

$w^{\mathrm{l}}=\frac{w_{\mathrm{B}}^{\mathrm{s}}-w_{\mathrm{B}}}{w_{\mathrm{B}}^{\mathrm{s}}-w_{\mathrm{B}}^{\mathrm{l}}}$

onde $w_{\mathrm{B}}$ é a fração mássica do componente $\mathrm{B}$ para a composição dada (representada como w_o no diagrama da figura).

O numerador de cada equação é a composição original que nos interessa +/- o braço oposto da alavanca. Isso é, se for desejada a fração mássica do sólido, tome-se a diferença entre a composição líquida e a composição original. O denominador é o comprimento total do braço (a diferença entre as composições sólida e líquida). Para melhor compreensão, pode-se visualizar a composição à medida que w_o se aproxima de w_l; com isso, a fração do líquido começa a aumentar.

As fórmulas apresentadas para sistemas bifásicos com fases sólida e líquida, bem como suas implicações, aplicam-se analogamente a outros sistemas bifásicos, como a sistemas líquido-vapor.

Diagramas de fases eutéticos

Linha de amarração na região bifásica L + $\alpha$

Nesse caso, há mais de uma região bifásica. A linha de amarração vai do $\alpha$ sólido para o líquido (L) e, traçando-se uma linha vertical nesses pontos, a fração mássica de cada fase é lida diretamente no gráfico, ou seja, a fração mássica do componente do eixo $x$. As mesmas equações podem ser usadas para encontrar a fração mássica da mistura em cada uma das fases, obtendo-se w_l como a fração mássica de toda a amostra na fase líquida.