Representação espectral de Källén-Lehmann

Predefinição:Teoria quântica de campos Na teoria quântica de campos, a Representação espectral de Källén-Lehmann fornece uma expressão geral para a função correlacional de dois pontos na mecânica quântica como uma soma de propagadores livres. Ela foi descoberta de forma independente por Gunnar Källén e Harry Lehmann. A representação pode ser escrita como

$\mathrm{\Delta }(p)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{\mu }^2\rho ({\mu }^2)\frac{1}{p^2-{\mu }^2+iϵ}$

onde $\rho ({\mu }^2)$ é a função de densidade espectral que deve ser definida positivamente, numa teoria de gauge, esta condição não pode ser garantida, mas uma representação espectral pode ser fornecida. Esta é uma técnica não perturbativa da teoria quântica de campos.

Definição

Para se obter uma representação espectral para o propagador de um campo $\mathrm{\Phi }(x)$, é necessário considerar um conjunto de estados $\{|n⟩\}$ de forma que, a função correlacional pode ser escrita como

$⟨0|\mathrm{\Phi }(x){\mathrm{\Phi }}^{†}(y)|0⟩=\sum _n⟨0|\mathrm{\Phi }(x)|n⟩⟨n{\mathrm{\Phi }}^{†}(y)|0⟩.$

Agora utilizando o grupo de Poincaré do vácuo, obtêm-se

$⟨0|\mathrm{\Phi }(x){\mathrm{\Phi }}^{†}(y)|0⟩=\sum _n{e}^{-i{p}_n\cdot (x-y)}|⟨0|\mathrm{\Phi }(0)|n⟩{|}^2.$

Introduzindo-se a função de densidade espectral

$\rho (p^2)\theta (p_0)(2\pi {)}^{-3}=\sum _n{\delta }^4(p-p_n)|⟨0|\mathrm{\Phi }(0)|n⟩{|}^2.$

Pode-se utilizar o facto que a função correlacional, sendo uma função de $p_{\mu }$, apenas pode depender de $p^2$. Além disto, todos os estados intermediários possuem $p^2\ge 0$ e $p_0>0$. Logo percebe-se que a função de densidade espectral será real e positiva. Então pode-se escrever que

$⟨0|\mathrm{\Phi }(x){\mathrm{\Phi }}^{†}(y)|0⟩=\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{\mu }^2{e}^{-ip\cdot (x-y)}\rho ({\mu }^2)\theta (p_0)\delta (p^2-{\mu }^2)$

e pode-se trocar a integral livremente, obtendo-se a expressão

$⟨0|\mathrm{\Phi }(x){\mathrm{\Phi }}^{†}(y)|0⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{\mu }^2\rho ({\mu }^2){\mathrm{\Delta }}^{\prime }(x-y;{\mu }^2)$

onde

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }(x-y;{\mu }^2)=\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^3}{e}^{-ip\cdot (x-y)}\theta (p_0)\delta (p^2-{\mu }^2)$.

Do teorema CPT sabe-se que uma expressão idêntica pode ser obtida para $⟨0|{\mathrm{\Phi }}^{†}(x)\mathrm{\Phi }(y)|0⟩$ e então conclui-se da expressão para o produto de campos cronologicamente ordenados

$⟨0|T\mathrm{\Phi }(x){\mathrm{\Phi }}^{†}(y)|0⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{\mu }^2\rho ({\mu }^2)\mathrm{\Delta }(x-y;{\mu }^2)$

onde

$\mathrm{\Delta }(p;{\mu }^2)=\frac{1}{p^2-{\mu }^2+iϵ}$

é um propagador de partícula. Obtém-se a decomposição espectral.

Leitura recomendada

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Ligações externas

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