Propagador

Predefinição:Sem notas Em mecânica quântica, um propagador é uma função ou distribuição que descreve a amplitude da probabilidade de uma partícula se mover de uma posição para outra. Tecnicamente, é a função de Green para a equação do movimento.

Definição

Partícula não-relativística

O propagador $K(x,t;x^{\prime },t^{\prime })$ é uma função ou distribuição que verifica a seguinte equação:

$(\mathrm{i}\hslash \frac{\partial }{\partial t}-H)K(𝐱,t;{𝐱}^{\prime },t^{\prime })=\delta (x-x^{\prime })\delta (t-t^{\prime })$ .

Aqui $H$ é o hamiltoniano e $\delta$ é a distribuição dirac.

Por exemplo, considere uma partícula não relativística livre. O propagador, portanto, verifica:

$(\mathrm{i}\hslash \frac{\partial }{\partial t}-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2)K(𝐱,t;{𝐱}^{\prime },t^{\prime })=\delta (x-x^{\prime })\delta (t-t^{\prime })$ .

Para resolver isso, converta em momento- e espaço de frequência :

$(\hslash \omega -{\hslash }^2{p}^2/2m)K(𝐩,\omega )=1$ .

Seguindo-se que:

$K(𝐩,\omega )=\frac{1}{\hslash \omega -{\hslash }^2{p}^2/2m}$ .

Converta de volta para posição e espaço-tempo:

$K(𝐱,t;{𝐱}^{\prime },t^{\prime })=\int \frac{{\mathrm{d}}^3𝐤\mathrm{d}\omega }{(2\pi {)}^4}\exp (\mathrm{i}(𝐤\cdot (𝐱-{𝐱}^{\prime })-\omega (t-t^{\prime })))K(𝐩,\omega )$ .

A integral é ambígua, porque tem um pólo em

$\omega =\hslash p^2/2m$ .

Deve-se desambiguar a integral adicionando um infinitesimal, mas existem dois sinais possíveis (Por isso o propagador não é único). Ao adicionar um infinitesimal pode-se calcular:

$K_{\pm }(𝐱,t;{𝐱}^{\prime },t^{\prime })$

$=\int \frac{{\mathrm{d}}^3𝐤\mathrm{d}\omega }{(2\pi {)}^4}\exp (\mathrm{i}(𝐤\cdot (𝐱-{𝐱}^{\prime })-\omega (t-t^{\prime })))\frac{1}{\hslash \omega \pm \mathrm{i}ϵ-{\hslash }^2{p}^2/2m}$

$=\mp \frac{\mathrm{i}}{\hslash }\theta (\pm t\mp t^{\prime }){\left(\frac{m}{2\pi \mathrm{i}\hslash (t-t^{\prime })}\right)}^{3/2}\exp (\frac{\mathrm{i}m}{2\hslash (t-t^{\prime })}(𝐱-{𝐱}^{\prime }{)}^2)$ ,

Onde:

$\theta (x)=\{\begin{array}{cc}1& \text{se }x>0\\ 0& \text{se }x<0\end{array}$

Representa a função de Heaviside. A função $K_{+}$ chamada de propagador passado (retarded em inglês), porque $K_{+}(𝐱,t;{𝐱}^{\prime },t^{\prime })$ é diferente de zero apenas se $t>t^{\prime }$. Enquanto isso, a função $K_{-}$ é chamada de propagador futuro (advanced em inglês), porque $K_{-}(𝐱,t;{𝐱}^{\prime },t^{\prime })$ é diferente de zero apenas se $t<t^{\prime }$.

Partícula relativística

Usamos uma convenção de sinalização $+---$ para a métrica que, $x\cdot y=x^0{y}^0-𝐱\cdot 𝐲$.

Uma partícula escalar relativística verifica a equação de Klein-Gordon . Daí o propagador $K(x,y)$ de uma partícula escalar relativística é definido como a função de Green da equação de Klein-Gordon. Eis:

$({\partial }^2+m^2)K(x,y)=-\delta (x-y)$ .

Para resolver, converte-se em momento linear:

$(p^2-m^2)K(p)=1$ .

Então:

$K(p)=\frac{1}{p^2-m^2}$ .

Converte-se de volta para o espaço de posição:

$K(x,y)=\int \frac{{\mathrm{d}}^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{1}{p^2-m^2}$ .

A integral é ambígua porque tem dois pólos em:

$p^0=\pm ({𝐩}^2+m^2)$ .

Deve-se desambiguar a integral adicionando um infinitesimal. De acordo com a teoria da integral curvilínea, podemos subir ou descer em cada pólo. Portanto, existem quatro métodos diferentes para eliminar a ambiguidade da integral; o propagador não é único. Se subirmos pelos dois pólos, o passado (em inglês retarded) será encontrado:

$K_{\mathrm{R}}(x,y)=\int \frac{{\mathrm{d}}^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{1}{(p_0+\mathrm{i}ϵ{)}^2-{𝐩}^2-m^2}$

$=\{\begin{array}{cc}(-\delta (s)+m{\mathrm{J}}_1(m\sqrt{s})/2\sqrt{s})/2\pi & \text{se }{x}^0>y^0\text{ kaj }s\ge 0\\ 0& \text{alie},\end{array}$

Onde ${\mathrm{J}}_1$ representa a função de Bessel de primeiro tipo e $s=(x-y{)}^2$. Se descermos em ambos os pólos, o propagador futuro (advanced) será encontrado:

$K_{\mathrm{A}}(x,y)=\int \frac{{\mathrm{d}}^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{1}{(p_0-\mathrm{i}ϵ{)}^2-{𝐩}^2-m^2}$

$=\{\begin{array}{cc}(-\delta (s)+m{\mathrm{J}}_1(m\sqrt{s})/2\sqrt{s})/2\pi & \text{se }{x}^0<y^0\text{ kaj }s\ge 0\\ 0& \text{alie}.\end{array}$

Se descermos pelo pólo esquerdo (em $p^0=-\sqrt{{𝐩}^2+m^2}$ e para cima através do pólo direito (em $p^0=+\sqrt{{𝐩}^2+m^2}$), O propagador de Feynman será encontrado:

$K_{\mathrm{F}}(x,y)=\int \frac{{\mathrm{d}}^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{\exp (-\mathrm{i}p\cdot (x-y))}{p^2-m^2+\mathrm{i}ϵ}$

$=\{\begin{array}{cc}(-\delta (s)+m{\mathrm{H}}_1^{(1)}(m\sqrt{s})/2\sqrt{s})/2\pi & \text{se }s\ge 0\\ -\mathrm{i}m{\mathrm{K}}_1(m\sqrt{-s})/(4{\pi }^2\sqrt{-s})& \text{se }s<0,\end{array}$

Onde ${\mathrm{H}}_1^{(1)}$ representa a função de Hankel de primeiro tipo e ${\mathrm{K}}_1$ significa a função modificada de Bessel de segundo tipo. Se subirmos pelo pólo esquerdo e descermos pelo pólo direito, o propagador de Dyson encontrar-se-á:

$K_{\mathrm{D}}(x,y)=\int \frac{{\mathrm{d}}^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{\exp (-\mathrm{i}p\cdot (x-y))}{p^2-m^2-\mathrm{i}ϵ}$

$=\{\begin{array}{cc}(-\delta (s)+m{\mathrm{H}}_1^{(2)}(m\sqrt{s})/2\sqrt{s})/2\pi & \text{se }s\ge 0\\ \mathrm{i}m{\mathrm{K}}_1(m\sqrt{-s})/(4{\pi }^2\sqrt{-s})& \text{se }s<0,\end{array}$

Onde ${\mathrm{H}}_1^{(2)}$ representa a função de Hankel do segundo tipo .

Os quatro propagadores verificam as seguintes equações.

$K_{\mathrm{R}}+K_{\mathrm{A}}=K_{\mathrm{F}}+K_{\mathrm{D}}$

$K_{\mathrm{R}}(x-y)=K_{\mathrm{A}}(y-x)$

$K_{\mathrm{F}}(x-y)=K_{\mathrm{F}}(y-x)=K_{\mathrm{D}}(x-y{)}^{*}$

$K_{\mathrm{D}}(x-y)=K_{\mathrm{D}}(y-x)=K_{\mathrm{F}}(x-y{)}^{*}$ .

Além disso, os propagadores exprimem-se com valores esperados vazios de operadores de campo:

$K_{\mathrm{R}}(x-y)=-\mathrm{i}\theta (x^0-y^0)⟨0|[\varphi (x),\varphi (y)]|0⟩$

$K_{\mathrm{A}}(x-y)=\mathrm{i}\theta (y^0-x^0)⟨0|[\varphi (x),\varphi (y)]|0⟩$

$K_{\mathrm{F}}(x-y)=-\mathrm{i}⟨0|𝖳\{\varphi (x)\varphi (y)\}|0⟩=-\mathrm{i}\theta (x^0-y^0)⟨0|\varphi (x)\varphi (y)|0⟩-\mathrm{i}\theta (y^0-x^0)⟨0|\varphi (y)\varphi (x)|0⟩$

$K_{\mathrm{D}}(x-y)=\mathrm{i}⟨0|𝖳\{\varphi (x)\varphi (y){\}}^{†}|0⟩=\mathrm{i}\theta (x^0-y^0)⟨0|\varphi (y)\varphi (x)|0⟩+\mathrm{i}\theta (y^0-x^0)⟨0|\varphi (x)\varphi (y)|0⟩$ .

Partícula com rotação

Para uma partícula dirac $\psi$ seguindo a equação de dirac:

$(\gamma \cdot \partial +m)\psi =0$ ,

o propagador é definido semelhantemente:

$(\gamma \cdot \partial +m)K(x-y)=\delta (x-y)$ .

No momento de espaço:

$K_{\mathrm{F}}(p)=\frac{1}{\gamma \cdot p-m+\mathrm{i}ϵ}=\frac{\gamma \cdot p+m}{p^2-m^2+\mathrm{i}ϵ}$

para o propagador de Feynman, etc.

Para uma partícula vetoral$A$ de massa zero (por exemplo, o fóton), existem vários ‘gauges’ possíveis. Um medidor simples é o medidor de Lorenz $\partial \cdot A=0$. Portanto, a partícula segue as equações de Maxwell com um termo gaussiano:

${\partial }^2{A}_{\mu }=0$ .

O propagador é definido de forma semelhante:

${\partial }^2{K}_{\mu \nu }(x-y)=\delta (x-y)$ .

No momento linear do espaço o propagador (de Feynman, etc.) é:

$K_{\mathrm{F}\mu \nu }(p)=\frac{-g_{\mu \nu }}{p^2+\mathrm{i}ϵ}$ .

Referências

• Bjorken, JD, Drell, SD, Relativistic Quantum Fields (Apêndice C.), New York: McGraw-Hill 1965, ISBN 0-07-005494-0 .
• NN Bogoliubov, DV Shirkov, Introdução à teoria dos campos quantizados, Wiley-Interscience, ISBN 0470086130 (pp. 136 - 156)
• DeWitt, Cécile, DeWitt, Bryce, editores, Relativity, Groups and Topology, Glasgow: Blackie and Son Ltd. ISBN 0444868585 (pp. 615 - 624)
• Griffiths, David J., Introduction to Elementary Particles, Nova York: John Wiley & Sons, 1987. ISBN 0-471-60386-4
• Halliwell, JJ, Orwitz, M. Origem da soma das histórias das leis de composição da mecânica quântica relativística e cosmologia quântica, arXiv: gr-qc / 9211004
• Kerson Huang, Quantum Field Theory: From Operators to Path Integrals . Nova York: J. Wiley & Sons, 1998. ISBN 0-471-14120-8
• Itzykson, Claude, Zuber, Jean-Bernard Quantum Field Theory, New York: McGraw-Hill, 1980. ISBN 0-07-032071-3
• Pokorski, Stefan, Gauge Field Theories, Cambridge: Cambridge University Press, 1987. ISBN 0-521-36846-4
• Schulman, Larry S., Techniques and Applications of Path Integration, Nova York: John Wiley & Sons, 1981. ISBN 0471764507
• Griffith, D, Introdução à Mecânica Quântica .