Resultante

Em matemática, a resultante de dois polinômios mônicos $P$ e $Q$ sobre um corpo $k$ define-se como o produto:

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)=\prod _{P(x)=0}\prod _{Q(y)=0}(y-x),$

Das diferenças de suas raízes, de onde $x$ e $y$ tomam valores no fecho algébrico de $k$. Para polinômios não-mônicos com coeficientes dominantes $p$ e $q$, respectivamente, o produto acima é multiplicado por:

$p^{\mathrm{deg}Q}{q}^{\mathrm{deg}P}.$

Computação

• A resultante é o determinante da matriz de Sylvester.

• O produtório anterior pode ser reescrito como

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)=\prod _{Q(y)=0}P(y)$

E esta expressão permanece invariante sem $P$ reduz-se o módulo $Q$.

Propriedades

• $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)=(-1{)}^{\mathrm{deg}P\cdot \mathrm{deg}Q}\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(Q,P)$
• $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P\cdot R,Q)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(R,Q)$
• Se $P^{\prime }=P+R*Q$ e $\mathrm{deg}{P}^{\prime }=\mathrm{deg}P$, entãon $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P^{\prime },Q)$
• Se $X,Y,P,Q$ possui o mesmo grau e $X=a_{00}\cdot P+a_{01}\cdot Q,Y=a_{10}\cdot P+a_{11}\cdot Q$,

então $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(X,Y)=\det {\left(\begin{array}{cc}{a}_{00}& a_{01}\\ a_{10}& a_{11}\end{array}\right)}^{\mathrm{deg}P}\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)$

• $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P_{-},Q)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(Q_{-},P)$ onde $P_{-}(z)=P(-z)$