Reticulado

Reticulado das partições de um conjunto com 4 elementos.

Em matemática, especialmente na teoria da ordem e em álgebra, um reticulado é uma estrutura L = (L, R) tal que L é parcialmente ordenado por R e para cada dois elementos a, b de L existe supremo (menor limite superior) e ínfimo (maior limite inferior) de {a,b}.

Reticulados como estruturas algébricas

De maneira equivalente, um reticulado pode ser definido como uma estrutura algébrica. Uma estrutura algébrica (L, $\vee ,\wedge$), consistindo de um conjunto L e duas operações $\vee$, e $\wedge$, sobre L é um reticulado se para todos os elementos a, b, c de L valem as seguintes equações, que podem ser vistas como axiomas da teoria dos reticulados.

Leis Comutativas $a\vee b=b\vee a$, $a\wedge b=b\wedge a$.

Leis Associativas $a\vee (b\vee c)=(a\vee b)\vee c$, $a\wedge (b\wedge c)=(a\wedge b)\wedge c$.

Lei de Absorção $a\vee (a\wedge b)=a$, $a\wedge (a\vee b)=a$.

As identidades seguintes as vezes também são vistas como axiomas, apesar de poder ser facilmente deduzidas usando as duas leis de absorção.

Leis de Idempotência

$a\vee a=a$,

$a\wedge a=a$.

Exemplos

• Seja $A^{}$ um conjunto não vazio e $𝒫\left(A^{}\right)$ o conjunto potência ou conjunto das partes de $A^{}$. Além disso, seja ${\subseteq }^{}$ a relação de inclusão de conjuntos. Então $⟨𝒫\left(A\right),\subseteq ⟩$ é um reticulado no qual o supremo está representado pela união de conjuntos e o ínfimo pela interseção.

• Seja $⟨A,\le ⟩$ um conjunto totalmente ordenado, isto é, ${\le }^{}$ é uma relação de ordem total. O supremo de dois elementos é o maior deles e o ínfimo é o menor.

Semirreticulados

• Um semirreticulado superior é um conjunto parcialmente ordenado em que existe supremo para quaisquer dois elementos a,b.
• Um semirreticulado inferior é um conjunto parcialmente ordenado em que existe ínfimo para quaisquer dois elementos a,b.

Bibliografia

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