Segmento inicial (matemática)

Conjunto das partes do conjunto $\{1,2,3,4\}$. A seção colorida em verde é um segmento inicial

Em matemática, mais precisamente em teoria da ordem, um segmento inicial de um conjunto ordenado (X,≤) é um subconjunto S de X tal que se x pertence à S e se y≤x, então y pertence à S.

Definição

Existe mais do que uma definição aceita, mas elas mudam apenas com relação às exigências impostas à ordem do conjunto X. Por exemplo, nesta definição, exige-se que o conjunto X seja bem ordenado.

Seja $X$ um conjunto bem ordenado. Um subconjunto $S\subset X$ é um segmento inicial de $X$ se satisfizer a condição

$\mathrm{\forall }x\in X(x\in S\Rightarrow x^{\leftarrow }\subset S)$

onde, $x^{\leftarrow }=\{y\in X:y<x\}$

Outra definição mais usual é:

Seja $X$ um conjunto totalmente ordenado. Um subconjunto $S\subset X$ é um segmento inicial de $X$ se satisfizer a condição

$\mathrm{\forall }x\in X(x\in S\Rightarrow x^{\leftarrow }\subset S)$

onde, $x^{\leftarrow }=\{y\in X:y<x\}$

Propriedades

• Se $S$ é um segmento inicial de um conjunto totalmente ordenado $X$, então $S\ne X⟺\mathrm{\exists }x\in X(S=x^{\leftarrow })$
• Se $X$ e $Y$ são conjuntos bem ordenados, então ou $X$ é isomorfo a um segmento inicial de $Y$, ou $Y$ é isomorfo a um segmento inicial de $X$.

• A intersecção finita de segmentos iniciais é um segmento inicial.

Demonstração
Sejam $I=\{1,2,..N\}$ e $X$ um conjunto totalmente ordenado. Para todo $i\in I$, considere $S_i$ um segmento inicial de $X$. Assim, se $y\in \bigcap _{i\in I}{S}_i$, então, $\mathrm{\forall }i\in Iy\in S_i$ então, como $S_i$ é um segmento inicial, $y^{\leftarrow }\subset S_i$, logo, $y^{\leftarrow }\subset \bigcap _{i\in I}{S}_i$, portanto, $\bigcap _{i\in I}{S}_i$ é um segmento inicial de $X$

• A união finita de segmentos iniciais é um segmento inicial.

Demonstração

Sejam $I=\{1,2,..N\}$ e $X$ um conjunto totalmente ordenado. Para todo $i\in I$, considere $S_i$ um segmento inicial de $X$. Assim, se $y\in \bigcup _{i\in I}{S}_i$, então, $\mathrm{\exists }k\in I$ tal que $y\in S_k$ então, como $S_k$ é um segmento inicial, $y^{\leftarrow }\subset S_k$, logo, $y^{\leftarrow }\subset {\cup }_{i\in I}{S}_i$, portanto, ${\cup }_{i\in I}{S}_i$ é um segmento inicial de $X$

Exemplos

• No caso de um conjunto totalmente ordenado, os segmentos iniciais são intervalos. Em particular, no caso do conjunto R dos números reais, os segmentos iniciais não vazios e não iguais ao prório R são os intervalos de uma das duas formas: $]-\mathrm{\infty },a]$ ou $]-\mathrm{\infty },a[$.
• $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N},k^{\leftarrow }$ é um segmento inicial de $\mathbb{N}$.
• Um corte inferior de Dedekind em ${\mathbb{Q}}^{\mathbb{+}}$ ou, simplesmente, um corte de Dedekind, é um segmento inicial de ${\mathbb{Q}}^{\mathbb{+}}$, não vazio, majorado e sem máximo.