Sistema autônomo (matemática)

Predefinição:Sem fontes Na teoria dos sistemas dinâmicos, um sistema autônomo é um sistema de equações diferenciais ordinárias que não depende nas variáveis independentes.

Definição

Um sistema autônomo de ordem n é uma equação diferencial ordinária da seguinte forma:

$\frac{d}{dt}x(t)=f(x(t))$

onde x é um vetor de n dimensões.

Note que a função $f$ não depende (diretamente) de $t$, dependendo apenas da função $x$

Sistema autônomo de primeira ordem

Um sistema autônomo de primeira ordem é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem da forma:

• $\frac{d}{dt}x(t)=f(x)$

onde $x(t)$ é uma função real da variável t.

Solução

A técnica de resolução consiste em separar os diferenciais:

• $\frac{dx}{f(x)}=dt$

e integrar:

• $\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{f(x)}dx=t-t_0$

Exemplo

• $\frac{d}{dt}x(t)=x^2$

restrito à condição inicial $x(0)=1$ A solução é dada por:

• $\frac{1}{x(0)}-\frac{1}{x(t)}=t$

ou, resolvendo para $x$:

• $x(t)=\frac{1}{1-t},t<1$