Sistema contínuo de segunda ordem

Um Sistema contínuo de segunda ordem é o Sistema dinâmico contínuo generalizado para sistemas mais gerais, de segunda ordem. Possibilitando reduzir qualquer sistema de equações diferenciais ordinárias a um sistema de várias equações, autônomas e de primeira ordem.

Queda livre

No problema da queda livre de um objeto, para calcular a altura em função do tempo, é preciso resolver a equação diferencial

$\dot{y}=v$

onde $v$ é obtida a partir da equação que já resolvemos no capítulo anterior

$\dot{v}=a$

Aplicando o método de Euler, teremos que encontrar duas sequências a partir de dois valores iniciais conhecidos:

$y_0=y(t=0)v_0=v(t=0)$

usando as relações de recorrência:

$\{\begin{array}{c}{v}_{n+1}=v_n+h{a}_n\\ y_{n+1}=y_n+h{v}_n\end{array}$

onde $h$ é um pequeno intervalo de tempo e a aceleração $a_n$ calcula-se a partir de uma função conhecida, que depende de $v_n$

O método do ponto médio consiste em usar a média entre $v_n$ e $v_{n+1}$ para calcular $y_n$

$\{\begin{array}{c}{v}_{n+1}=v_n+h{a}_n\\ y_{n+1}=y_n+h\frac{v_n+v_{n+1}}{2}\end{array}$

ou, substituindo a expressão para $v_{n+1}$ na segunda equação:

$\{\begin{array}{c}{v}_{n+1}=v_n+h{a}_n\\ y_{n+1}=y_n+h{v}_n+\frac{1}{2}{a}_n{h}^2\end{array}$

Lançamento de projéteis

O movimento de um projétil, sob a ação da gravidade é um movimento plano, no plano definido pela gravidade e pela velocidade inicial. A posição, velocidade e a aceleração instantânea são vetores com duas componentes, por exemplo, $x$ e $y$, que verificam duas equações diferenciais

$\begin{array}{ccc}\dot{\overrightarrow{r}}& =& \overrightarrow{v}\\ \dot{\overrightarrow{v}}& =& \overrightarrow{a}\end{array}$

Essas equações são uma generalização vetorial das equações . Assim, o método de Euler também pode ser generalizado facilmente, introduzindo vetores nas equações

$\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{v}}_{n+1}={\overrightarrow{v}}_n+h{\overrightarrow{a}}_n\\ {\overrightarrow{y}}_{n+1}={\overrightarrow{y}}_n+h{\overrightarrow{v}}_n\end{array}$

Essas equações resolvem-se em forma iterativa, começando com um valor conhecido para os vectores posição e velocidade iniciais.

Sistemas de segunda ordem

As funções $f$ e $g$, calculadas num dado ponto $(x_0,y_0)$, definem a velocidade de fase nesse ponto.

Um sistema autônomo de segunda ordem consiste em duas variáveis $x$ e $y$ que dependem do tempo, e duas equações de evolução, independentes do tempo:

$\{\begin{array}{c}\dot{x}=f(x,y)\\ \dot{y}=g(x,y)\end{array}$

O espaço de fase desse sistema é o plano $xy$, formado pelas duas variáveis de estado.

O vector $f{\hat{e}}_x+g\hat{y}$, construído a partir das duas funções nas equações de evolução acima, é a ``velocidade com que o estado se desloca no espaço de fase. A velocidade de fase em cada ponto do espaço de fase representa-se por um múltiplo positivo do vetor $f{\hat{e}}_x+g\hat{y}$ nesse ponto. Usa-se um fator de escala para evitar complicar o desenho com vectores muito compridos a cruzarem-se.

Retrato de fase

O retrato de fase de um sistema autônomo de segunda ordem é uma representação gráfica do campo de direções, no espaço de fase a duas dimensões, mostrando os pontos fixos e algumas soluções que entram ou saem desses pontos.

Resolução analítica das equações de segunda ordem

Existem dois tipos de equações de segunda ordem que podem ser resolvidas analiticamente. O primeiro tipo são as equações lineares com coeficientes constantes, com a forma geral

$a{y}^{″}+b{y}^{\prime }+cy=f(x)$

onde $a$, $b$ e $c$ são constantes, e $f(x)$ tem alguma forma simples.

O segundo tipo de equação é a equação de Euler

$a{x}^2{y}^{″}+bx{y}^{\prime }+cy=f(x)$

Equações autônomas de segunda ordem

As equações diferenciais autônomas de segunda ordem são as que não dependem explicitamente da variável independente. Podem ser reduzidas a duas equações independentes, de primeira ordem. A forma geral de uma equação autônoma de segunda ordem é:

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=f(x,\frac{dx}{dt})$

se designarmos de $v(x)$ a função $dx/dt$, a equação passa a ser de primeira ordem

$\dot{v}=f(x,v)$

mas como há 3 variáveis $(t,xev)$ nesta equação, ela não pode ser resolvida independentemente mas deverá ser resolvida juntamente com a equação $dx/dt=v$. Um método mais simples, que não exige a resolução de duas equações em simultâneo, consiste em obter uma equação diferencial ordinária (unicamente duas variáveis), usando a seguinte substituição:

$\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}$

substituindo na equação, obtém-se

$v\frac{dv}{dx}=f(x,v)$

que é uma EDO de primeira ordem, com variável independente $x$ e variável dependente $y$. Cada solução dessa EDO será uma função $g(x)$ que representa $v$ em função da variável $x$. Para calcular $x(t)$ resolve-se a seguir

$\frac{dx}{dt}=g(x)$

que é também uma equação autônoma, mas de primeira ordem.

A dificuldade deste método é que nem sempre é possível escrever as soluções da equação na forma explícita $v=g(x)$.

Na analogia mecânica, $v$ é a velocidade e a função $f$ na equação é a força resultante, por unidade de massa.

Sistemas não autônomos e derivadas de ordem superior

Se as funções $f$ ou $g$, nos Sistemas de segunda ordem, dependessem do tempo, o sistema deixaria de ser autônomo.

No entanto o sistema pode ser convertido num sistema autônomo, considerando o tempo como mais uma variável de estado, e introduzindo uma equação diferencial trivial para a derivada de $t$ (a derivada de $t$ em função de $t$ é 1).

Outra forma em que um sistema pode diferir da forma padrão será se aparecerem derivadas de ordem superior.

Nesse caso as derivadas de ordem superior podem ser reduzidas a primeira ordem, introduzindo mais variáveis. Vamos ilustrar esses métodos para obter sistemas autônomos por meio de um exemplo.

Transformando o seguinte sistema num sistema autônomo:

$\{\begin{array}{c}\dot{x}=3x-y^{2}t\\ \dot{y}=5x^{2}y\end{array}$

Resolução: Se $t$ fosse também variável de estado, o sistema seria autônomo; mas deveria haver uma equação de evolução para essa nova variável de estado. Assim, introduzimos mais uma equação (trivial):

$\dot{t}=1$

Assim, o sistema é equivalente a um sistema autônomo de terceira ordem:

$\{\begin{array}{c}\dot{t}=1\\ \dot{x}=3x-y^{2}t\\ \dot{y}=5x^{2}y\end{array}$

O espaço de fase tem três dimensões.

Eliminação de singularidades

Os métodos para resolver equações diferenciais estudados nas secções anteriores calculam o valor da solução a partir do valor da derivada num ponto inicial. Se a derivada no ponto inicial for infinita, o método falha. Quando o diagrama do campo de direções de um sistema, no plano $xy$, apresentar pontos onde o declive for vertical, os métodos numéricos falham nesses pontos. O problema pode ser resolvido introduzindo um parâmetro adicional, como é feito no exemplo seguinte.

Encontramos a solução do sistema:

$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}y(3)=0$

Resolução: O estado inicial, $x=3$, $y=0$, conduz a uma derivada infinita; assim, não vai ser possível calcular a derivada no ponto inicial (3,0). Não será possível representar o campo de direções nesse ponto, e os métodos numéricos não poderão ser usados para calcular a solução.

Introduzindo um parâmetro adicional, $t$, admitimos que as duas variáveis, $x$ e $y$ dependem de $t$. A equação é equivalente ao sistema de equações

$\begin{array}{ccc}\frac{dx}{dt}& =& y\\ \frac{dy}{dt}& =& -x\end{array}$ Predefinição:Referências

Ver também

• Sistema dinâmico não linear
• Sistema dinâmico de Liouville
• Sistema de equações lineares