Série de Bell

Predefinição:Mais-notas Em matemática, uma série de Bell é uma série de potências usada para estudar as propriedades de funções aritméticas. As séries de Bell foram introduzidas e desenvolvidas por Eric Temple Bell.

Dada uma função aritmética $f$ e um número primo $p$, define-se a série de potências formalmente $f_p(x)$, chamada agora de série de Bell de $f$ módulo $p$ como:

$f_p(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(p^n)x^n.$

Pode-se demostrar que duas funções multiplicativas são idênticas se todas as suas séries de Bell são iguais; isto às vezes chama-se teorema de unicidade. Dadas as funções mutiplicativas $f$ e $g$, tem-se que $f=g$ se e somente se:

$f_p(x)=g_p(x)$ para todos os primos $p$.

Duas séries podem ser multiplicadas (às vezes chama-se de teorema de multiplicação): Para duas funções aritméticas quaisquer $f$ e $g$, seja $h=f*g$ sua convolução de Dirichlet. Então, para cada primo $p$, tem se que:

$h_p(x)=f_p(x)g_p(x).$

Em particular, isto converte em algo trivial encontrar a serie de Bell de uma inversa de Dirichlet.

Se $f$ é uma função completamente multiplicativa, então:

$f_p(x)=\frac{1}{1-f(p)x}.$

Exemplos

A continuação mostra as séries de Bell de funções aritméticas mais conhecidas.

• A função de Möbius $\mu$ tem ${\mu }_p(x)=1-x.$
• A função φ de Euler $\phi$ tem ${\phi }_p(x)=\frac{1-x}{1-px}.$
• A identidade multiplicativa da convolução de Dirichlet $\delta$ tem ${\delta }_p(x)=1.$
• A função de Liouville $\lambda$ tem ${\lambda }_p(x)=\frac{1}{1+x}.$
• A função potência Id_k tem $({\text{Id}}_k{)}_p(x)=\frac{1}{1-p^{k}x}.$ Aqui, Id_k é a função completamente multiplicativa ${\mathrm{Id}}_k(n)=n^k$.
• A função divisor ${\sigma }_k$ tem $({\sigma }_k{)}_p(x)=\frac{1}{1-(1+p^k)x+p^k{x}^2}.$