Função divisor

Em matemática, especialmente na teoria dos números e na teoria analítica dos números, uma função divisor, mais apropriadamente chamada função soma dos divisores, é uma função aritmética que associa a cada número natural n a soma das k-ésimas potências de seus divisores inteiros positivos, onde k é um número complexo (na teoria dos números clássica o expoente é geralmente um número inteiro). Quando o expoente k é nulo, a função retorna a contagem de divisores positivos de n. Denotada pela letra grega $\sigma$ (sigma), ela está presente em várias relações, incluindo a função zeta de Riemann e a série de Eisenstein de uma forma modular. Essas funções foram bastante estudadas por Srinivasa Ramanujan, matemático indiano responsável por um grande número de congruências e identidades a elas referentes.

Definição

Uma função divisor é definida como uma regra que associa a uma variável natural n a soma das k-ésimas potências (complexas) dos divisores d (naturais) de n. Dessa forma, pode-se expressar:

${\sigma }_k(n)=\sum _{d|n}{d}^k.$

As notações $d$(n), $\nu$(n) e $\tau$(n) também são utilizadas para denotar ${\sigma }_0$(n), particularmente denominada de função número-de-divisores Predefinição:OEIS, indicando a quantidade de divisores inteiros positivos de n. Dessa maneira, o expoente k dos divisores de n na expressão acima é igual a zero e assim tem-se

${\sigma }_0(n)=\sum _{d|n}{d}^0=\sum _{d|n}1=\tau (n)$.

Quando o expoente k é igual a 1, a função é chamada função soma-dos-divisores e o índice "1" é geralmente omitido. Como o próprio nome informa, $\sigma$(n) associa ao inteiro n a soma de seus divisores naturais, de forma que

${\sigma }_1(n)=\sigma (n)=\sum _{d|n}d$.

Define-se ainda uma função - denotada por $s$(n) - que associa ao natural n a soma de seus divisores próprios, o que exclui o próprio n. Subsequentemente pode-se escrever

$s(n)=\sigma (n)-n$.

Apesar da maneira aparentemente simples de definir a função, o cálculo do seu valor pode ser uma tarefa muito trabalhosa, conforme seja grande o valor de n (posto que se faz necessário conhecer seus divisores) ou na hipótese de serem usados expoentes complexos.

Exemplos

• ${\sigma }_0$(30) fornece o número de divisores inteiros positivos de 30:

$\begin{array}{cc}{\sigma }_0(30)& =1^0+2^0+3^0+5^0+6^0+10^0+15^0+30^0\\ & =1+1+1+1+1+1+1+1=8\end{array}$

• $\sigma$(30) é a soma dos divisores de 30:

$\begin{array}{cc}{\sigma }_1(30)& =1^1+2^1+3^1+5^1+6^1+10^1+15^1+30^1\\ & =1+2+3+5+6+10+15+30=72\end{array}$

• ${\sigma }_{-1}$(30) é a soma dos inversos dos divisores de 30:

$\begin{array}{cc}{\sigma }_{-1}(30)& =1^{-1}+2^{-1}+3^{-1}+5^{-1}+6^{-1}+10^{-1}+15^{-1}+30^{-1}\\ & =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{30}=\frac{12}{5}\end{array}$

Propriedades

Da definição pode-se constatar facilmente que:

$\sigma (n)=1\iff n=1$, pois 1 é o único divisor natural de 1, e;

$\sigma (n)\ge 1+n\iff n\ge 1$, pois existem pelo menos dois divisores de n, a saber, 1 e o próprio n.

Além disso, na desigualdade acima verifica-se também facilmente que:

• se n é um número primo então existem apenas dois divisores inteiros positivos: 1 e n. Portanto

$\sigma (n)=1+n$ para todo n primo;

• se n é um número composto então existem inteiros a e b, relativamente primos (isto é, mdc(a,b) = 1), tais que n = ab, de forma que pelo menos 1, a, b e a b são divisores positivos de n. Logo

$\sigma (n)>1+n$ para todo n composto.

Para determinar precisamente o valor de $\sigma$(n) para n composto, faz-se necessário representar n por sua decomposição primária (em fatores primos), o que é visto a partir de agora.

Potências de primos

Suponha que n = p^a com p primo e a > 1 expoente natural. Então todos os divisores positivos de n estão evidentemente no conjunto {1, p, ...,p^a}, formado por 1 e pelos múltiplos de p com expoentes inteiros menores do que ou igual a a. Dessa maneira, tem-se

$\begin{array}{c}\sigma (p^a)=\sum _{i=0}^a{p}^i=1+p+...+p^a=\frac{p^{a+1}-1}{p-1}\end{array}$

Tomando arbitrariamente um índice k não nulo, para o mesmo natural n = p^a (p primo e expoente natural a > 1), segue-se o raciocínio anterior. Assim, geralizando o cálculo de ${\sigma }_k$(n) com k ≠ 0, tem-se

$\begin{array}{c}{\sigma }_k(p^a)=\sum _{i=0}^a{p}^{ik}=1+p^k+...+p^{ak}=\frac{p^{(a+1)k}-1}{p^k-1}\end{array}$

Como visto acima, se n = p^a então n possui a + 1 divisores positivos distintos (1, p, ..., p^a). Este é exatamente o valor obtido ao se fazer k = 0 na função ${\sigma }_k$:

$\tau (n)={\sigma }_0(p^a)=\sum _{i=0}^a{p}^0=\sum _{i=0}^{a}1=a+1$

Exemplos

• $\sigma (3)=\sigma (3^1)=\frac{3^2-1}{3-1}=\frac{8}{2}=4$

• ${\sigma }_2(625)={\sigma }_2(5^4)=\frac{5^{10}-1}{5^2-1}=\frac{9765624}{24}=406901$

• ${\sigma }_{-1}(1024)={\sigma }_{-1}(2^{10})=\frac{2^{-11}-1}{2^{-1}-1}=\frac{2^{11}-1}{2^{10}}=\frac{2047}{1024}$

Funções multiplicativas

A função ${\sigma }_k$ é uma função multiplicativa, pois se m e n são primos relativos, isto é, se mdc(m,n) = 1, então ${\sigma }_k$(mn) = ${\sigma }_k$(m) ${\sigma }_k$(n). Uma função para a qual este produto vale para quaisquer naturais m e n (não apenas primos relativos) é chamada de completamente multiplicativa, o que não é o caso de $\sigma$. Para compreender isto, tomem-se por exemplo primos distintos p e q. Logo os divisores do produto p q são: 1, p, q e pq, de forma que

$\sigma (pq)=1+p+q+pq=(1+p)\cdot (1+q)=\sigma (p)\cdot \sigma (q)$.

Considere-se agora que q=q₁q₂ é um número composto relativamente primo com p, com q₁ e q₂ também primos relativos. Segue daí que

$\sigma (pq)=\sigma (p)\cdot \sigma (q)=\sigma (p)\cdot \sigma (q_1)\cdot \sigma (q_2)$.

O raciocínio aqui descrito sustenta fundamenta o teorema de generalização dado a seguir, cuja demonstração pode ser feita por indução matemática (ou indução finita).

Generalização

Sejam os primos p₁, p₂, ..., p_m e os expoentes a₁, a₂, ...a_m tais que n = p₁^a1 p₂^a2 ... p_m^am (tal decomposição primária tem existência e unicidade garantidas pelo teorema fundamental da aritmética). Nessas condições, aplicando a cada potência de primo fator de n a expressão anteriormente obtida, e considerando que $\sigma$ é uma função multiplicativa, pode-se escrever

$\begin{array}{cc}{\sigma }_k(n)& ={\sigma }_k\left(\prod _{j=1}^m{p}_j^{a_j}\right)=\prod _{j=1}^m{\sigma }_k(p_j^{a_j})\end{array}$, se k ≠ 0, e

$\begin{array}{cc}{\sigma }_0(n)& ={\sigma }_0\left(\prod _{j=1}^m{p}_j^{a_j}\right)=\prod _{j=1}^m{\sigma }_0(p_j^{a_j})=\prod _{j=1}^m(1+a_j)\end{array}$, se k = 0.

Exemplos

• $\sigma (6)=\sigma (2)\sigma (3)=\frac{2^2-1}{2-1}\cdot \frac{3^2-1}{3-1}=3\cdot \frac{8}{2}=12$

• $\sigma (12)=\sigma (2^2)\sigma (3)=\frac{2^3-1}{2-1}\cdot \frac{3^2-1}{3-1}=7\cdot \frac{8}{2}=28$

• $\sigma (28)=\sigma (2^2)\sigma (7)=\frac{2^3-1}{2-1}\cdot \frac{7^2-1}{7-1}=7\cdot \frac{48}{6}=56$

Utilizando as expressões desenvolvidas anteriormente, e tomando-se a função $\omega$ que para cada inteiro n = p₁^a1 p₂^a2 ... p_m^am não nulo associa a quantidade m de fatores primos distintos de n (logo ω(n) = m), obtém-se a seguinte expressão para ${\sigma }_k$ com k ≠ 0:

${\sigma }_k(n)=\prod _{j=1}^{\omega (n)}\frac{p_j^{(a_j+1)k}-1}{p_j^k-1}=\prod _{j=1}^{\omega (n)}{p}_j^{a_{j}k}(1+\frac{1-p_j^{-a_{j}k}}{p_j^k-1})$

Números perfeitos

Um conceito pertinente aos números naturais, estudado desde a Grécia Antiga, é o de abundância. O uso da função $\sigma$ permite definir abreviadamente o seu significado, de forma que um natural n é chamado:

• abundante, se $\sigma$(n) > 2n

• perfeito, se $\sigma$(n) = 2n

• deficiente, se $\sigma$(n) < 2n

Exemplos

• 12 é abundante, pois

$\sigma (12)=\sigma (2^2)\sigma (3)=7\cdot 4=28.$

• 6 é perfeito, visto que

$\sigma (6)=\sigma (2)\sigma (3)=3\cdot 4=12.$

• 8 é deficiente, porque

$\sigma (8)=\sigma (2^3)=15.$

Todo número perfeito conhecido é par e possui relação estreita com algum primo de Mersenne. O mais antigo problema em aberto em toda a Matemática, que remonta aos gregos clássicos, consiste em provar a existência ou não de números perfeitos ímpares. Também não se sabe ainda se a quantidade de números perfeitos pares é finita ou não.

Outra forma de verificar a abundância de um número natural é pelo uso de ${\sigma }_{-1}$. Afinal, conforme a definição da função divisor com índice -1, para todo natural n tem-se

${\sigma }_{-1}(n)=\sum _{d|n}{d}^{-1}=\sum _{d|n}\frac{1}{d}=\frac{\sum _{d|n}d}{n}=\frac{\sigma (n)}{n}$

Consequentemente, pode-se afirmar que

• n é abundante se ${\sigma }_{-1}$(n) > 2

• n é perfeito se ${\sigma }_{-1}$(n) = 2

• n é deficiente se ${\sigma }_{-1}$(n) < 2

Custo aritmético

Interessa àqueles que de fato aplicam as funções em cálculos estimar o esforço necessário para computar os seus valores, o que é medido pelo número de operações efetuadas. Nesse sentido, da fórmula de $\sigma (n)$ decorre que

$n\prod _{j=1}^k(1+\frac{1}{p_j})\le \sigma (n)<n\prod _{j=1}^k\frac{p_j}{p_j-1}$

Daí, utilizando a expressão de $\phi$ (função totiente de Euler), tem-se

$\prod _{j=1}^k(1-\frac{1}{p_j^2})=\prod _{j=1}^k(1+\frac{1}{p_j})(1-\frac{1}{p_j})\le \frac{\phi (n)\sigma (n)}{n^2}<1$

Além disso, uma vez que

$\prod _{pprimo}\frac{1}{1-\frac{1}{p^2}}=\prod (1+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^4}+...)=\sum _{k=1}^{infty}\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$,

e também como

$0<\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{\_}{\lim }}\frac{\phi (n)loglogn}{n}<+\mathrm{\infty }$    (vide função totiente de Euler),

subsequentemente é certo que

$0<\overline{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }}\frac{\sigma (n)}{nloglogn}<+\mathrm{\infty }$.

Relação com outras funções

Considerando a função $\phi$ (função totiente de Euler) e a função $\zeta$ (função zeta de Riemann), pode-se provar as relaçoes seguintes, em que constam a função divisor, desde que o complexo s seja tal que |s| > 1:

• Na série de Dirichlet dada por

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_a(n)}{n^s}=\zeta (s)\zeta (s-a)$,

em que $\sigma$(n) é tal que

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_0(n)}{n^s}={\zeta }^2(s)$.

• Na série de Dirichlet definida como

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_a(n){\sigma }_b(n)}{n^s}=\frac{\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}$.

• Na série de Lambert para um número complexo arbitrário q, tal que |q| ≤ 1 e um número inteiro arbitrário  a

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^n{\sigma }_a(n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^a{q}^n}{1-q^n}$.

Esta soma aparece também na série de Fourier da série de Eisenstein e como invariantes das funções elípticas de Weierstrass.

Ligações externas

• Divisor Function (em inglês) em Wolfram Mathworld, the web's most extensive mathematics resource