Funções elípticas de Weierstrass

Em matemática, funções elípticas de Weierstrass são funções elípticas que tomam uma forma particularmente simples (cf funções elípticas de Jacobi); elas são nomeadas em referência a Karl Weierstrass. Esta classe de funções são também tratadas como funções P e geralmente escritas usando o símbolo $\mathrm{\wp }$ (uma letra p estilizada chamada p Weierstrass).

Símbolo para a função P de Weierstrass.

Definições

A função P de Weierstrass definida sobre uma porção do plano complexo utilizando uma técnica usual de visualização na qual o branco corresponde a um polo, preto a um zero, e a máxima saturação a $|f(z)|=|f(x+iy)|=1.$ Notar um retículo regular dos polos, e dois retículos que se entrecruzam de zeros.

Pode-se definir à função elíptica de Weierstrass de três maneiras muito similares, cada uma delas possui certas vantagens. Uma é como uma função de variável complexa $z$ e uma retículo $\mathrm{\Lambda }$ no plano complexo. Outra é em termos de $z$ e dois números complexos ${\omega }_1$ e ${\omega }_2$ que definem um par de geradores, ou períodos, do retículo. A terceira é em termo de $z$ e de um módulo $\tau$ no semiplano superior. Esta se relaciona com a definição prévia mediante a seguinte expressão $\tau ={\omega }_2/{\omega }_1$, a qual em virtude da convenção usual de pares de períodos se encontra no semiplano superior. Utilizando este método, para um $z$ fixo as funções de Weierstrass resultam ser funções modulares de $\tau$.

Considerando os dois períodos a função elíptica de Weierstrass é uma função elíptica com períodos ${\omega }_1$ e ${\omega }_2$ definida como

$\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)=\frac{1}{z^2}+\sum _{m^2+n^2\ne 0}\{\frac{1}{(z-m{\omega }_1-n{\omega }_2{)}^2}-\frac{1}{{(m{\omega }_1+n{\omega }_2)}^2}\}.$

Então $\mathrm{\Lambda }=m{\omega }_1+n{\omega }_2$ são os pontos do par de retículos, pelo que

$\mathrm{\wp }(z;\mathrm{\Lambda })=\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)$

para todo par de geradores do retículo define a função de Weierstrass como uma função de uma variável complexa e um retículo.

Se $\tau$ é um número complexo no semiplano superior, então

$\mathrm{\wp }(z;\tau )=\mathrm{\wp }(z;1,\tau )=\frac{1}{z^2}+\sum _{n^2+m^2\ne 0}\frac{1}{(z-n-m\tau {)}^2}-\frac{1}{(n+m\tau {)}^2}.$

A soma indicada anteriormente é homogênea com um grau menos dois, com o qual se pode definir a função $\mathrm{\wp }$ de Weierstrass para todo par de períodos, como

$\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)=\mathrm{\wp }(z/{\omega }_1;{\omega }_2/{\omega }_1)/{\omega }_1^2.$

Pode-se calcular $\mathrm{\wp }$ de forma direta e rápida em termo das funções teta; porque as mesmas convergem rapidamente, esta é uma forma mais veloz de computar-se $\mathrm{\wp }$ que as séries que nós usamos para definí-las. A fórmula é

$\mathrm{\wp }(z;\tau )={\pi }^2{\vartheta }^2(0;\tau ){\vartheta }_{10}^2(0;\tau )\frac{{\vartheta }_{01}^2(z;\tau )}{{\vartheta }_{11}^2(z;\tau )}+e_2(\tau )$

onde

$e_2(\tau )=-\frac{{\pi }^2}{3}({\vartheta }^4(0;\tau )+{\vartheta }_{10}^4(0;\tau )).$

Existe um polo de segunda ordem em cada ponto do retículo do período (incluindo a origem). Com estas definições, $\mathrm{\wp }(z)$ é uma função par e sua derivada em relação a $z$, ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$, é uma função ímpar. Posteriores desenvolvimentos da teoria das funções elípticas mostram que a condição sobre a função de Weierstrass (corretamente chamada pe) é determinada pela adição de uma constante e multiplicação por uma constante não nula sobre os polos isolados, entre todos as funções meromorfas com o retículo do período dado.

Invariantes

A parte real do invariante g₃ como uma função do nome q sobre o disco unidade.

A parte imaginária do invariante g₃ como uma função do nome q sobre o disco unidade.

Se pontos próximos à origem são considerados a série de Laurent apropriada é

$\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)=z^{-2}+\frac{1}{20}{g}_2{z}^2+\frac{1}{28}{g}_3{z}^4+O(z^6)$

onde

$g_2=60\sum {\prime }^{}{\mathrm{\Omega }}_{m,n}^{-4},g_3=140\sum {\prime }^{}{\mathrm{\Omega }}_{m,n}^{-6}.$

(aqui ${\mathrm{\Omega }}_{m,n}=m{\omega }_1+n{\omega }_2$ e uma soma tracejada referem-se ao somatório sobre todos os pares de inteiros exceto $m=n=0$). Os números $g_2$ e $g_3$ são conhecidos como os invariantes — são dois termos externos da série de Eisenstein. (Abramowitz e Stegun limitam-se ao caso de $g_2$ real e $g_3$, estabelecendo neste caso "parecer abranger a maioria das aplicações"; isto pode ser verdadeiro do ponto de vista de matemática aplicada. Se ${\omega }_1$ é real e ${\omega }_2$ puramente imaginário, ou se ${\omega }_1=\overline{{\omega }_2}$, os invariantes são reais).

Note-se que $g_2$ e $g_3$ são funções homogêneas de grau -4 e -6; isto é,

$g_2(\lambda {\omega }_1,\lambda {\omega }_2)={\lambda }^{-4}{g}_2({\omega }_1,{\omega }_2)$

e

$g_3(\lambda {\omega }_1,\lambda {\omega }_2)={\lambda }^{-6}{g}_3({\omega }_1,{\omega }_2).$

Então, por convenção, frequentemente escreve-se $g_2$ e $g_3$ em termos de razão de meio período $\tau ={\omega }_2/{\omega }_1$ e toma-se $\tau$ situando-se no meio plano superior. Então, $g_2(\tau )=g_2(1,{\omega }_2/{\omega }_1)$ e $g_3(\tau )=g_3(1,{\omega }_2/{\omega }_1)$.

A série de Fourier para $g_2$ e $g_3$ pode ser escrita em termos do quadrado da nome $q=\exp (i\pi \tau )$ como

$g_2(\tau )=\frac{4{\pi }^4}{3}[1+240\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_3(k)q^{2k}]$

e

$g_3(\tau )=\frac{8{\pi }^6}{27}[1-504\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_5(k)q^{2k}]$

onde ${\sigma }_a(k)$ é a função divisor. Esta fórmula pode ser reescrita em termos de série de Lambert.

Os invariantes podem ser expressos em termos de funções teta de Jacobi. Este método é muito conveniente para cálculo numérico: as funções teta convergem muito rapidamente. Na notação de Abramowitz e Stegun, mas notando os semiperíodos primitivos por ${\omega }_1,{\omega }_2$, os invariantes satisfazem

$g_2({\omega }_1,{\omega }_2)=\frac{{\pi }^4}{12{\omega }_1^4}({\theta }_2(0,q{)}^8-{\theta }_3(0,q{)}^4{\theta }_2(0,q{)}^4+{\theta }_3(0,q{)}^8)$

e

$g_3({\omega }_1,{\omega }_2)=\frac{{\pi }^6}{(2{\omega }_1{)}^6}[\frac{8}{27}({\theta }_2(0,q{)}^{12}+{\theta }_3(0,q{)}^{12})$

$-\frac{4}{9}({\theta }_2(0,q{)}^4+{\theta }_3(0,q{)}^4)\cdot {\theta }_2(0,q{)}^4{\theta }_3(0,q{)}^4]$

onde $\tau ={\omega }_2/{\omega }_1$ é o razão de meio período e $q=e^{\pi i\tau }$ é o nome.

Casos especiais

Se os invariantes são $g_2=0$, $g_3=1$, então isto é conhecido como o caso equianarmônico; $g_2=1$, $g_3=0$ é o caso lemniscática.

Equação diferencial

Com esta notação, a função $\mathrm{\wp }$ satisfaz a seguinte equação diferencial:

$[{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z){]}^2=4[\mathrm{\wp }(z){]}^3-g_2\mathrm{\wp }(z)-g_3,$

onde a dependência em ${\omega }_1$ e ${\omega }_2$ é suprimida.

Equação integral

A função elíptica de Weierstrass pode ser dada como a inversa de uma integral elíptica.

Fazendo-se

$u=\underset{y}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{ds}{\sqrt{4s^3-g_{2}s-g_3}}.$

Aqui, g₂ e g₃ são tomados como constantes. Então tem-se

$y=\mathrm{\wp }(u).$

O acima segue-se diretamente por integração da equação diferencial.

Discriminante modular

A parte real do discriminante como uma função do nome q no disco unidade.

O discriminante modular $\mathrm{\Delta }$ é definido como

$\mathrm{\Delta }=g_2^3-27g_3^2.$

Isto é estudado na forma adequada, como uma forma parabólica, na teoria da forma modular (isto é, como uma função do retículo do período).

Note-se que $\mathrm{\Delta }=(2\pi {)}^{12}{\eta }^{24}$ onde $\eta$ é a função eta de Dedekind.

A presença do 24 pode ser entendida pela conexão com outras ocorrências, como na função eta e no retículo Leech.

O discriminante é uma forma modular de peso 12. Isto é, sob a ação de grupo modular, transforma-se como

$\mathrm{\Delta }\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)={(c\tau +d)}^{12}\mathrm{\Delta }(\tau )$

com τ sendo a razão de meio período, e a,b,c e d sendo inteiros, com ad − bc = 1.

As constantes e₁, e₂ e e₃

Considerando-se a equação polinomial cúbica $4t^3-g_{2}t-g_3=0$ com raízes $e_1$, $e_2$, e $e_3$. Se o discriminante $\mathrm{\Delta }=g_2^3-27g_3^2$ não é zero, nem duas destas raízes são igauis. Já que o termo quadrático desta polinomial cúbica é zero, as raízes são relacionadas pela equação

$e_1+e_2+e_3=0.$

Os coeficientes lineare e constante (g₂ and g₃, respectivamente) são relacionados às raízes pelas equações

$g_2=-4(e_1{e}_2+e_1{e}_3+e_2{e}_3)=2(e_1^2+e_2^2+e_3^2)$

$g_3=4e_1{e}_2{e}_3.$

No caso de invariantes reais, o sinal de $\mathrm{\Delta }$ determina a natureza das raízes. Se $\mathrm{\Delta }>0$, todas as três são reais e é convencional nomeá-las então $e_1>e_2>e_3$. Se $\mathrm{\Delta }<0$, é convencional escrever-se $e_1=-\alpha +\beta i$ (onde $\alpha \ge 0$, $\beta >0$), onde $e_3=\overline{e_1}$ e $e_2$ é real e não negativa.

Os meio períodos ω₁ e ω₂ da função elíptica de Weierstrass são relacionados às raízes

$\mathrm{\wp }({\omega }_1)=e_1\mathrm{\wp }({\omega }_2)=e_2\mathrm{\wp }({\omega }_3)=e_3$

onde ${\omega }_3=-({\omega }_1+{\omega }_2)$. Desde que a derivada da função elíptica de Weierstrass iguala-se the above polinomial cúbico do valor da função, ${\mathrm{\wp }}^{\prime }({\omega }_i)=0$ para $i=1,2,3$; se o valor da função iguala-se a raiz do polinômio, a derivada é zero.

Se $g_2$ e $g_3$ são reais e $\mathrm{\Delta }>0$, a $e_i$ são todos reais, e $\mathrm{\wp }()$ é real sobre o perímetro do retângulo com vértices $0$, ${\omega }_3$, ${\omega }_1+{\omega }_3$, e ${\omega }_1$. Se as raízes são ordenadas como above ($e_1>e_2>e_3$), então o primeiro meio período é completamente real

${\omega }_1=\underset{e_1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dz}{\sqrt{4z^3-g_{2}z-g_3}}$

considerando-se que o terceiro meio período é completamente imaginário

${\omega }_3=i\underset{-e_3}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dz}{\sqrt{4z^3-g_{2}z-g_3}}.$

Teoremas de adição

As funções elípticas de Weierstrass tem diversas propriedades que podem ser provadas:

$\det \left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\wp }(z)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)& 1\\ \mathrm{\wp }(y)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(y)& 1\\ \mathrm{\wp }(z+y)& -{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z+y)& 1\end{array}\right]=0$

(uma versão simétrica seria

$\det \left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\wp }(u)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(u)& 1\\ \mathrm{\wp }(v)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(v)& 1\\ \mathrm{\wp }(w)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(w)& 1\end{array}\right]=0$

Onde $u+v+w=0$).

Além disso

$\mathrm{\wp }(z+y)=\frac{1}{4}{\left\{\frac{{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)-{\mathrm{\wp }}^{\prime }(y)}{\mathrm{\wp }(z)-\mathrm{\wp }(y)}\right\}}^2-\mathrm{\wp }(z)-\mathrm{\wp }(y).$

e a fórmula da duplicação

$\mathrm{\wp }(2z)=\frac{1}{4}{\left\{\frac{{\mathrm{\wp }}^{″}(z)}{{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)}\right\}}^2-2\mathrm{\wp }(z),$

exceto $2z$ que é um período.

O caso com 1 um meio período básico

Se ${\omega }_1=1$, muito da teoria acima torna-se mais simples; é então convencional escrever-se $\tau$ para ${\omega }_2$. Para um τ fixo no meio plano superior, então a parte imaginária de τ é positiva, nós definimos a função Weierstrass $\mathrm{\wp }$ por

$\mathrm{\wp }(z;\tau )=\frac{1}{z^2}+\sum _{n^2+m^2\ne 0}\frac{1}{(z-n-m\tau {)}^2}-\frac{1}{(n+m\tau {)}^2}.$

A soma estende-se sobre o retículo {n+mτ : n e m in Z} com a origem omitida.

Aqui consideramos τ como fixo e $\mathrm{\wp }$ como uma função de $z$; fixando $z$ e deixando τ variar a condução dentro da área das funções elípticas modulares.

Teoria geral

$\mathrm{\wp }$ é uma função meromorfa no plano complexo com um duplo polo a cada ponto do retículo. É duplamente periódico com os períodos 1 e τ; isto significa que $\mathrm{\wp }$ satisfaz

$\mathrm{\wp }(z+1)=\mathrm{\wp }(z+\tau )=\mathrm{\wp }(z)$

A soma acima é homogênea de grau menos dois, e se $c$ é qualquer número complexo não zero,

$\mathrm{\wp }(cz;c\tau )=\mathrm{\wp }(z;\tau )/c^2$

dos quais nós podemos definir a função Weierstrass $\mathrm{\wp }$ para qualquer par de períodos. Nós também podemos tomar a derivada (evidentemente, em relação a z) e obter uma função algebricamente relacionada a $\mathrm{\wp }$ por

$\mathrm{\wp }{\text{'}}^2={\mathrm{\wp }}^3-g_2\mathrm{\wp }-g_3$

onde $g_2$ and $g_3$ depende somente de τ, sendo forma modular. A equação

$Y^2=X^3-g_{2}X-g_3$

define uma curva elíptica, e nós vemos que $(\mathrm{\wp },{\mathrm{\wp }}^{\prime })$ é uma parametrização desta curva.

A totalidade das funções meromorfas duplamente periódicas com dados períodos define uma função corpo algébrico, associado a esta curva.

Podemos mostrar que este corpo é

$ℂ(\mathrm{\wp },{\mathrm{\wp }}^{\prime }),$

então todas estas funções são funções racionais na função Weierstrass e sua derivada.

Nós também podemos inserir um paralelograma de período único em um toro, ou superfície de Riemann em forma de "donut" , e tendo as funções elípticas associadas a um dado par de períodos como sendo funções definidas sobre esta superfície de Riemann.

As raízes $e_1$, $e_2$, e $e_3$ da equação $X^3-g_{2}X-g_3$ dependem de τ e podem ser expressas em termos de funções teta; nós temos

$e_1(\tau )=\frac{{\pi }^2}{3}({\vartheta }^4(0;\tau )+{\vartheta }_{01}^4(0;\tau )),$

$e_2(\tau )=-\frac{{\pi }^2}{3}({\vartheta }^4(0;\tau )+{\vartheta }_{10}^4(0;\tau )),$

$e_3(\tau )=\frac{{\pi }^2}{3}({\vartheta }_{10}^4(0;\tau )-{\vartheta }_{01}^4(0;\tau )).$

Dado que $g_2=-4(e_1{e}_2+e_2{e}_3+e_3{e}_1)$ e $g_3=4e_1{e}_2{e}_3$ nós temos estes também em termos de funções teta.

Podemos também expressar $\mathrm{\wp }$ em termos de funções theta; porque estas convergem muito rapidamente, este é um meio mais rápido de cálculo $\mathrm{\wp }$ que as séries que usamos para definí-las.

$\mathrm{\wp }(z;\tau )={\pi }^2{\vartheta }^2(0;\tau ){\vartheta }_{10}^2(0;\tau )\frac{{\vartheta }_{01}^2(z;\tau )}{{\vartheta }_{11}^2(z;\tau )}+e_2(\tau ).$

A função $\mathrm{\wp }$ tem dois zeros (módulos de períodos) e a função ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$ tem três. Os zeros de ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$ são fáceis de serem encontrados: dado que ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$ é uma função ímpar devem estar em pontos de meio período. Por outro lado é muito difícil expressar os zeros de $\mathrm{\wp }$ por forma fechada, exceto para valores especiais do módulo (e.g. quando o retículo do período é inteiro de Gauss). Uma expressão foi encontrada por Zagier e Eichler.

A teoria de Weierstrass também inclui a função zeta de Weierstrass, a qual é uma integral indefinida de $\mathrm{\wp }$ e não duplamente periódica, e uma função teta chamada função sigma de Weierstrass, da qual sua função zeta é a derivada logarítmica. A função sigma tem zeros em todos os pontos do período (somente), e pode ser expressa em termos de funções de Jacobi. Isto dá um meio de conversão entre notações de Weierstrass e Jacobi.

A função sigma de Weierstrass é uma função inteira; desempenha o papel de função 'típica' na teoria de funções inteiras aleatórias de J. E. Littlewood.

Relação com as funções elípticas de Jacobi

Para trabalho numérico, é frequentemente conveniente calcular a função elíptica de Weierstrass em termos das funções elípticas de Jacobi. As relações básicas são

$\mathrm{\wp }(z)=e_3+\frac{e_1-e_3}{{\mathrm{s}\mathrm{n}}^{2}w}=e_2+(e_1-e_3)\frac{{\mathrm{d}\mathrm{n}}^{2}w}{{\mathrm{s}\mathrm{n}}^{2}w}=e_1+(e_1-e_3)\frac{{\mathrm{c}\mathrm{n}}^{2}w}{{\mathrm{s}\mathrm{n}}^{2}w}$

onde e_1-3 são as três raízes descritas acima e onde o módulo k das funções de Jacobi iguala-se

$k\equiv \sqrt{\frac{e_2-e_3}{e_1-e_3}}$

e seu argumento w iguala-se

$w\equiv z\sqrt{e_1-e_3}.$

• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, traduzido para o inglês como AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
• K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
• Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis, Cambridge University Press, 1952, capítulos 20 e 21
• Konrad Knopp, Funktionentheorie II (1947), Dover; Republicado em traduçã para o inglês como Theory of Functions (1996), Dover ISBN 0-486-69219-1
• Abramowitz and Stegun; Handbook of Mathematical Functions, capítulo 18

Ligações externas

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