Série dupla

Em análise matemática, uma série dupla é uma série cujo índice pertence a ${\mathbb{N}}^2$, isto é, dois números naturais.

Notação

Denotamos a soma parcial por $S_{m,n}$ definida como

$$S_{m,n}=\sum _{i=1,j=1}^{m,n}{a}_{ij}.$$

Quando existe um número S tal que para todo $\epsilon >0$, existe $\lambda$ tal que $|S_{m,n}-S|<\epsilon$ se $m,n>\lambda$, dizemos que $S$ é a série dupla de $S_{m,n}$.

Também é possível expressar essa ideia pelo limite duplo $\underset{(m,n)}{\lim }{S}_{m,n}=S$. Devemos, contudo, atentar para o fato de que não é imediato o fato de que $S_{m,n}\to S$, já que esse limite duplo pode não existir.

A série dupla é então denotad como

$$S=\sum _{i=1,j=1}^{\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }}{a}_{ij}.$$

Aliás, como $a_{m,n}=S_{m,n}-S_{m-1,n}-S_{m,n-1}+S_{m-1,n-1}$, segue que, se $\{S_{m,n}\}$ converge, é possível encontrar $\delta$ tal que $\left|a_{m,n}\right|<\epsilon$ se $m,n>\delta$, o que não implica $a_{m,n}\to 0$ se $m$ e $n$ tendem a $\mathrm{\infty }$ separadamente. Para mais informações, veja os exemplos que serão apresentados na próxima seção.

Convergência de uma série dupla

A condição geral da convergência de uma Série Dupla é, tomando a sequência de somas parciais, o critério de Cauchy para sequências duplas, ou seja, uma série dupla converge se e somente se $\mathrm{\exists }\lambda :|S_{p,q}-S_{m,n}|<\epsilon$, quando $p>m>\lambda$ e $q>n>\lambda$.

Predefinição:Collapse top $(\Rightarrow )$ Imediata.

$(\Leftarrow )$ Seja $S_n$ o valor de $S_{m,n}$ quando $m=n$, de modo que o retângulo usado para a soma se torne um quadrado. Podemos tomar a subsequência $\{S_n\}$ e, segundo o critério de Cauchy para sequências simples, temos $|S_q-S_n|<\epsilon$ quando $q>n>\lambda$ .

Como $S_n$ se aproxima de um limite $S$, podemos encontrar ${\lambda }_1$ tal que $|S-S_n|<\epsilon$ se $n>{\lambda }_1$.

A condição geral nos leva, então, a $|S_{p,q}-S_n|<\epsilon$, se $p,q>n>{\lambda }_2$.

Sendo, ainda ${\lambda }_3=\max \{{\lambda }_1,{\lambda }_2\}$, segue $|S_{p,q}-S|<\epsilon$ se $p,q>n>{\lambda }_3$. Ou seja, a série dupla converge.

EXEMPLOS

Convergência: $S_{m,n}=\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$

Divergência: $S_{m,n}=m+n$

Oscilação: $S_{m,n}=(-1{)}^{m+n}$

Troca dos operadores de somatório

Somas por Linha e por Coluna

As somas de uma série dupla podem ser definidas pela soma dos elementos dentro de retângulos $m\times n$, conforme mencionado anteriormente, mas também pode ser definida por Séries Iteradas correspondentes ao somatório das somas das linhas e das colunas, como segue.

Soma por linhas: Tome primeiro a soma dos elementos das linhas de uma série, denotada por $b_m=\stackrel{\mathrm{\infty }}{\sum _{n=1}}{a}_{m,n}$ e, então, proceda com o somatório das somas das linhas, ou seja $\stackrel{\mathrm{\infty }}{\sum _{m=1}}{b}_m$. Ou seja, a Soma por linhas é dada por $\stackrel{\mathrm{\infty }}{\sum _{m=1}}\stackrel{\mathrm{\infty }}{\sum _{n=1}}{a}_{m,n}=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{m,n}$

De modo análogo,

Soma por colunas: dada por $\stackrel{\mathrm{\infty }}{\sum _{n=1}}\stackrel{\mathrm{\infty }}{\sum _{m=1}}{a}_{m,n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{m,n}.$

Se lidamos com um número finito de termos, é evidente que

$S_{M,N}=\stackrel{M}{\sum _{m=1}}\stackrel{N}{\sum _{n=1}}{a}_{m,n}=\stackrel{N}{\sum _{n=1}}\stackrel{M}{\sum _{m=1}}{a}_{m,n}$

O mesmo não é necessariamente verdade se lidamos com um número infinito de termos, ou seja, não é necessariamente verdade que

$S=\stackrel{\mathrm{\infty }}{\sum _{m=1}}\stackrel{\mathrm{\infty }}{\sum _{n=1}}{a}_{m,n}=\stackrel{\mathrm{\infty }}{\sum _{n=1}}\stackrel{\mathrm{\infty }}{\sum _{m=1}}{a}_{m,n}$

e isso se dá pelo fato de que os limites iterados não necessariamente são iguais, o que implica, no caso das séries, a oscilação da soma por linhas ou colunas.

EXEMPLO

Seja $S_{m,n}=(-1{)}^{m+n}(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}).$

Oras, $S$ existe e é dado por $S=0$.

Mas $\nexists \underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{m,n}$ e $\nexists \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{m,n}$.

Teorema de Pringsheim

Um teorema que dá conta dos casos em que é possível proceder com a troca dos operadores de limites no infinito em Séries Duplas é o teorema de Pringsheim, que dita que:

Se as somas linha e coluna de uma série convergem e a série dupla também converge, então a expressão $S=\stackrel{\mathrm{\infty }}{\sum _{m=1}}\stackrel{\mathrm{\infty }}{\sum _{n=1}}{a}_{m,n}=\stackrel{\mathrm{\infty }}{\sum _{n=1}}\stackrel{\mathrm{\infty }}{\sum _{m=1}}{a}_{m,n}$ é válida.

Predefinição:Collapse top Temos que $|S_{m,n}-S|<\epsilon$ se $m,n>\lambda$, de modo que $|\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_m-S|\le \epsilon$. Oras, por hipótese o limite simples existe. Segue, então, que $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{m,n}=S$.

A outra metade é análoga. Predefinição:Collapse bottom

Observações

(1) Quando a série dupla não converge, então $(\ast )$ $\stackrel{\mathrm{\infty }}{\sum _{m=1}}\stackrel{\mathrm{\infty }}{\sum _{n=1}}{a}_{m,n}=\stackrel{\mathrm{\infty }}{\sum _{n=1}}\stackrel{\mathrm{\infty }}{\sum _{m=1}}{a}_{m,n}$ não é necessariamente válido.

EXEMPLO

Seja $S_{m,n}=\frac{m}{m+n}$, temos $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{m,n}=0$ e $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{m,n}=1$. Do teorema de Pringsheim, a série obviamente não converge.

(2) A verdade de $(\ast )$ também não implica, por si só, na convergência da série dupla.

EXEMPLO

Seja $S_{m,n}=\frac{mn}{(m+n{)}^2}$

Temos $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{m,n}=0=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{m,n}$, mas a série dupla não converge. Para verificar isso, basta ver que se tomarmos $m$ e $n$ tendendo de formas diferentes ao infinito, a soma leva a números diferentes. Por exemplo, tome $m=2n$, $S_{m,n}=\frac{2}{9}$ e se $m=n$, $S_{m,n}=\frac{1}{4}$.