Teorema da concordância de Aumann

O teorema da concordância de Aumann foi declarado e provado pelo economista Robert Aumann em um artigo intitulado "Agreeing to Disagree", que introduziu a descrição teórica do conjunto de conhecimento comum. O teorema diz respeito a agentes que compartilham uma crença anterior comum e atualizam suas crenças probabilísticas pela regra de Bayes. Afirma que se as crenças probabilísticas de tais agentes, em relação a um evento fixo, são de conhecimento comum, então essas probabilidades devem coincidir. Assim, os agentes não podem concordar em discordar, ou seja, ter conhecimento comum de uma discordância sobre a probabilidade posterior de um determinado evento.

O teorema

O modelo usado por Auman para provar o teorema consiste em um conjunto finito de estados $S$ com uma probabilidade anterior $p$, que é comum a todos os agentes. O conhecimento do agente $a$ é dado por uma partição ${\mathrm{\Pi }}_a$ de $S$. A probabilidade posterior do agente $a$, denotada $p_a$, é a probabilidade condicional de $p$ dado ${\mathrm{\Pi }}_a$. Fixe um evento $E$ e deixe $X$ ser o evento que para cada $a$, $p_a(E)=x_a$. O teorema afirma que se o evento $C(X)$ que $X$ é de conhecimento comum não está vazio, então todos os números $x_a$ são os mesmos. A prova decorre diretamente da definição de conhecimento comum. O evento $C(X)$ é uma união de elementos de ${\mathrm{\Pi }}_a$ para cada $a$. Assim, para cada $a$, $p(E|C(x))=x_a$. A afirmação do teorema segue uma vez que o lado esquerdo é independente de $a$. O teorema foi provado para dois agentes, mas a prova para qualquer número de agentes é similar.

Extensões

Monderer e Samet relaxaram a suposição de conhecimento comum e presumiram, em vez disso, conhecimento comum $p$-crença nos posteriores dos agentes. Eles deram um limite superior da distância entre os posteriores $x_a$. Este limite se aproxima de 0 quando $p$ se aproxima de 1.