Teorema da média geométrica

área do quadrado cinza = área do retângulo cinza: $h^2=pq\iff h=\sqrt{pq}$

O teorema da altura do triângulo retângulo ou teorema da média geométrica é um resultado na geometria elementar que descreve uma relação entre os comprimentos da altura da hipotenusa em um triângulo retângulo e os dois segmentos de reta que ele cria na hipotenusa. Ele afirma que a média geométrica dos dois segmentos é igual à altura.

Teorema e aplicações

Construção de $\sqrt{p}$ definindo $q$   para 1

Se

$h$

denota a altitude em um triângulo retângulo

$\mathrm{\Delta }EP$

e

$q$

os segmentos na hipotenusa, o teorema pode ser declarado como:

$h=\sqrt{pq}$

ou em termos de áreas:

$h^2=pq$

Desigualdade $AM$-$GM$

A última versão gera um método para quadrar um retângulo com régua e bússola, ou seja, construir um quadrado de área igual a um determinado retângulo. Para tal um retângulo com os lados $p$ e $q$ indicam que a sua parte superior à esquerda vértice com $D$. Agora, estendemos o segmento $q$ para a esquerda por $p$ (usando o arco $\stackrel{⌢}{AE}$ centralizado em $D$) e desenhamos um semicírculo com os pontos finais $A$ e $B$ com o novo segmento $p+q$ como seu diâmetro. Em seguida, erigimos uma linha perpendicular ao diâmetro em $D$ que cruza o semicírculo em $C$. Devido ao teorema de Tales, $C$ e o diâmetro forma um triângulo retângulo com o segmento de reta $\overline{DC}$ como sua altitude, portanto, $\overline{DC}$ é o lado de um quadrado com a área do retângulo. O método também permite a construção de raízes quadradas (consulte o número construtível), já que, começando com um retângulo com largura 1, o quadrado construído terá um comprimento lateral igual à raiz quadrada do comprimento do retângulo.

O teorema pode ser usado para fornecer uma prova geométrica da desigualdade $AM$-$GM$ no caso de dois números. Para os números de $p$ e $q$ um constrói um meio círculo com diâmetro $p+q$. Agora a altitude representa a média geométrica e o raio a média aritmética dos dois números. Como a altitude é sempre menor ou igual ao raio, isso gera desigualdade.

Referências

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images. MAA 2011, Predefinição:ISBN, pp. 31–32 (Predefinição:Google books)
• Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementary Geometry. AMS 2008, Predefinição:ISBN, p. 25 (Predefinição:Google books)
• Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Springer, 2009, Predefinição:ISBN, pp. 76-77 (em alemão, Predefinição:Google books)
• Euclid: Elements, livro II – prop. 14, livro VI – prop. 8, (cópia online)

Ligações externas

• Geometric Mean no Cut-the-Knot