Teorema das três perpendiculares

Demonstração geométrica do teorema das três perpendiculares

De acordo com o teorema das três perpendiculares: se são dados, no espaço, o plano $\pi$ e as retas $r$ e $s$, com $r$ perpendicular a $\pi$ em $O$ e $s$ contida em $\pi$. Se $A$ pertence a $r$ e $B$ pertence a $s$, então $AB$ é perpendicular a $s$ se, e somente se, $OB$ é perpendicular a $s$.

Demonstração

Proposição I

Dados uma reta $r$ e um plano $\alpha$, temos $r\perp \alpha$ se, e só se, $r$ for ortogonal a duas retas concorrentes de $\alpha$.

Note que:

$r\perp \pi \Rightarrow r\perp s$

Suponha, agora que $AB\perp s$. Então, uma vez que $r$ e $AB$ são concorrentes, segue da proposição I que $s\perp (r,AB)$; em particular, $s\perp OB$. Reciprocamente, suponha que $OB\perp s$. Como $r$ e $OB$ são concorrentes, segue novamente da proposição I que $s\perp (r,OB)$; em particular, $s\perp AB$.

Obs: $(r,s)$ representa o plano que contém as retas $r$ e $s$.

Enunciando o teorema de outra forma

“A reta $r$ é perpendicular ao plano $\pi$ no ponto $O$. A reta $s$ está contida em $\pi$ e não passa por $O$. O ponto $B$ da reta $s$ é tal que $OB$ é perpendicular a $s$. Então, se $A$ é qualquer ponto de $r$, $AB$ é perpendicular a $s$.

Uma demonstração utilizando apenas o teorema de Pitágoras

Pelo enunciado os triângulos $\mathrm{△}AOC$, $\mathrm{△}AOB$ e $\mathrm{△}OBC$ são todos retângulos e afirma que o $\mathrm{△}ABC$ também é retângulo.

Sendo assim devemos provar a afirmação. Temos:

$A{C}^2=A{O}^2+O{C}^2$ (I)

$A{B}^2=A{O}^2+O{B}^2$ ou $A{O}^2=A{B}^2-O{B}^2$ (II)

$O{C}^2=O{B}^2+B{C}^2$ (III)

Substituindo II e III em I, temos:

$A{C}^2=A{B}^2-O{B}^2+O{B}^2+B{C}^2$, logo:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$, provando assim que o $\mathrm{△}ABC$ também é retângulo.

Aplicação

Na pirâmide da figura, a base é um quadrado de área $36m^2$ e $SA$ é sua altura que mede $8m$ e está apoiada no vértice $A$. A área do triângulo $\mathrm{△}SBC$ desta pirâmide pode ser obtida da seguinte forma:

Como a base é um quadrado os lados medem $6m$, sendo $SA$ a altura e a base um quadrado temos que $SA\perp \pi$ e $AB\perp BC$. Logo, pelo teorema das três perpendiculares $SB\perp BC$ e consequentemente $\mathrm{△}SBC$ é retângulo e como $SA$ é altura o $\mathrm{△}SAB$ também é retângulo.

$S{B}^2=S{A}^2+A{B}^2=82+62=64+36=100$

$SB=10m$

$A_{\mathrm{△}SBC}=\frac{BC\cdot SB}{2}=\frac{6\cdot 10}{2}=\frac{60}{2}=30m^2$

Ver também

• Perpendicularidade