Teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko

O biólogo e estatístico britânico Ronald Fisher.

Em estatística, o teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko, também chamado de teorema de Fisher–Tippett ou teorema do valor extremo, é um resultado geral na teoria dos valores extremos referente à distribuição assintótica de estatísticas de ordem extremas. O máximo de uma amostra de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas pode apenas convergir em distribuição a uma de três possíveis distribuições, a distribuição de Gumbel, a distribuição de Fréchet e a distribuição de Weibull. O matemático soviético Boris Gnedenko recebeu crédito pelo teorema do valor extremo (ou teorema da convergência a tipos) proposto em 1948. Versões anteriores foram publicadas pelos estatísticos britânicos Ronald Fisher e Leonard Henry Caleb Tippett em 1928 e pelo matemático francês Maurice Fréchet em 1927.

O papel do teorema dos tipos extremos para máximos é similar ao do teorema central do limite para médias, exceto pelo fato de que o teorema central do limite se aplica à média de uma amostra a partir de qualquer distribuição com variância finita, enquanto o teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko afirma apenas que, se a distribuição de um máximo normalizado converge, então o limite deve pertencer a uma classe particular de distribuições. Não afirma que a distribuição do máximo normalizado de fato converge.

Afirmação

Considere $X_1,X_2,...,X_n...$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e $M_n=\max \{X_1,...,X_n\}$. Se uma sequência de pares de números reais $(a_n,b_n)$ existe tal que cada $a_n>0$ e $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(\frac{M_n-b_n}{a_n}\le x)=F(x)$, em que $F$ é uma função de distribuição não degenerada, então, a distribuição limite $F$ pertence às famílias de Gumbel, Fréchet ou Weibull. Estas podem ser agrupadas na distribuição generalizada de valor extremo.

Condições de convergência

Se $G$ for uma função de distribuição de $X$, então, $M_n$ pode ser reescalonado para convergir em distribuição a:

• Uma distribuição de Fréchet se e somente se $G(x)<1$ para todo $x$ real e $\frac{1-G(tx)}{1-G(t)}\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{x}^{-\theta },x>0$. Neste caso, possíveis sequências são:

  $b_n=0$

  e

  $a_n=G^{-1}(1-\frac{1}{n}).$

• Uma distribuição de Weibull se e somente se $\omega =\sup \{G<1\}<+\mathrm{\infty }$ e $\frac{1-G(\omega +tx)}{1-G(\omega -t)}\underset{t\to 0^{+}}{\overset{}{\to }}(-x{)}^{\theta },x<0$. Neste caso, possíveis sequências são:

  $b_n=\omega$

  e

  $a_n=\omega -G^{-1}(1-\frac{1}{n}).$

Ver também

• Distribuição de Gumbel
• Distribuição de Weibull